O critério geral de divisibilidade de Pascal

O critério geral de divisibilidade de Pascal

UM CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE APLICÁVEL
A QUALQUER NÚMERO INTEIRO

O matemático francês Blaise Pascal criou e demonstrou no ano de 1.654 um critério geral de divisibilidade, isto é, uma forma de demonstrar a divisibilidade de um número inteiro N por qualquer outro número inteiro.
Seu critério fundamentou-se no fato de que se a soma dos restos da divisão de vários números por "a" resultar em um múltiplo de "a", então a soma dos vários números é divisível por "a".
Utilizou-se do próprio sistema decimal para a criação de seu critério e os vários números correspondiam a uma unidade de cada uma das ordens do sistema decimal. Então os dividendos corresponderiam a potências de 10 ordenados da direita para a esquerda na seguinte forma:
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106 ...
O critério é válido para qualquer número inteiro, tomado como divisor, mas para o nosso trabalho focalizaremos apenas o número 7.
Para o número 7, temos:
100/7 → r = 1; 101/7→ r = 3; 102/7 →r = 2; 103/7 → r = 6;
104/7 → r = 4; 105/7 → r = 5; 106/7→ r = 1; ...
A partir de 106 a série de r (restos) repete-se em uma seqüência infinita.
Para um número composto por uma unidade em cada uma de suas ordens, bastaria somar os restos correspondentes a cada uma das ordens para verificar se o número é divisível ou não por 7.
Como os números são compostos por dígitos de Ø a 9 em cada uma de suas ordens, para efetuar a verificação é necessário multiplicar o valor do dígito de cada uma de suas ordens pelo valor do resto correspondente à respectiva ordem, conforme relacionado anteriormente. Se a soma dos produtos obtidos for divisível por 7, o número testado também o é.
Exemplo numérico:
N = 465.834
1 . 4 = 4; 3 . 3 = 9; 2 . 8 = 16; 6 . 5 = 30; 4 . 6 = 24 e 5 . 4 = 20. A soma dos produtos é: S = 4 + 9 + 16 + 30 + 24 + 20 = 103; 103 mod 7 ≡ 5 que é igual ao resto de N/7.
Como 103 não é divisível por 7, N também não o é.
Passarei a denominar como