zeros e polinômios de matematica

Zeros de Polinômios
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Iguer Luis Domini dos Santos1 , Geraldo Nunes Silva2

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DCCE/IBILCE/UNESP, São José do Rio Preto, SP, Brazil, [e-mail]
DCCE/IBILCE/UNESP, São José do Rio Preto, SP,Brazil, [e-mail]

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Resumo No presente trabalho é feito um estudo sobre zeros de polinômios. Dessa forma, fazemos uma discussão sobre localização dos zeros, avaliação de polinômios e consideramos os Métodos de
Newton e Newton-Bairstow.
Palavras-chave Zero de polinômio, cálculo de raízes, avaliação de polinômios

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Resultados Básicos

Dados a0 , a1 , ... , an , an = 0, um polinômio de grau n é escrito na forma pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 onde os ai são chamados de coeficientes de p(x).
Definição Diz-se que o número real ou complexo ξ é raíz (zero) de pn (x) se pn (ξ) = 0.
Definição A raíz ξ é chamada de raíz múltipla de pn (x) = 0 com multiplicidade m se pn (ξ) = pn (ξ) = ... = p(m−1) = 0 e n p(m) (ξ) = 0 n Segue os principais resultados sobre zeros de polinômios:
Teorema 1.1 (Teorema Fundamental da Álgebra). Se pn (x) é um polinômio de grau n ≥ 1, então pn (x) possui pelo menos uma raíz (possivelmente complexa
Corolário 1.1. Sendo pn (x) um polinômio de grau n ≥ 1 e x1 , ..., xk raízes de pn (x), então existem únicos números inteiros m1 , ..., mk tais que k mi = n i=1 e pn (x) = an (x − x1 )m1 (x − x2 )m2 ... (x − xk )mk
Este corolário diz que pn (x) é escrito de modo único como produto de fatores de sua raízes xi e multiplicidade mi , sendo i = 1, ..., k.
Teorema 1.2. Se zk = ak + ibk é uma raíz do polinômio de grau n, pn (x), então zk = ak − ibk também é uma raíz de pn (x). Além disso, se zk possui multiplicidade m, zk também possui multiplicidade m.
∗ Apoio

fincanceiro: CAPES

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Localização dos Zeros

Sendo pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 um polinômio real (ou seja, todos os seus coeficientes são reais) de grau n, é possível determinar um círculo de raio