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CAPÍTULO 1

1.
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

INTRODUÇÃO
Os filtros contínuos processam sinais definidos em qualquer instante de tempo e que têm qualquer
amplitude possível. Os filtros contínuos podem ser realizados com diferentes tecnologias e dispositivos.
Pode, por exemplo, filtrar-se um sinal à custa de vários tipos de ressonadores: mecânicos, piezoeléctricos,
magnetoestritivos, etc., ou à custade circuitos RLC, de linhas de transmissão, de circuitos activos RC,
etc. Em qualquer destas possíveis realizações é necessário, previamente, determinar uma função de
transferência para o filtro, que corresponda às exigências de pretendidas para o sistema.

1.1.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência directa de um sistema linear e invariante no tempo, define-se como sendo

o cocienteentre as transformadas de Laplace, Y(s), do sinal de saída, y(t) e a transformada, X(s), do sinal
de entrada, x(t), ver Fig. 1.1. No estudo dos filtros, por vezes, é mais conveniente usar o conceito de

Moisés Piedade, IST, Março de 2002

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FUNÇÕES BIQUADRÁTICAS

função de transferência inversa1, H(s), definida como o cociente entre as transformadas de Laplace
das varáveis de entrada e de saídado filtro. Tem-se, assim:

T (s) =

Y (s)
X ( s)

e

H ( s) =

X (s)
= T ( s ) −1 ,
Y (s)
( 1 .1)

Quando o sistema é excitado por um sinal sinusoidal, que corresponde a analisar a função de

x(t)

y(t)

X(s)

Y(s)
T(s) = Y(s)/X(s)

Fig. 1.1- Entrada e saída num sistema linear e invariante no tempo.

transferência em s = jω, obtém-se, para a resposta em frequência do sistema, uma função complexada
frequência, com parte real, R[T(jω)] e parte imaginária, I[T(jω)] que pode ser separada no módulo |T(jω)|
= eα(ω ), e na fase φ (ω),

T ( jω ) = ℜ( T ( jω )) + j ℑ( T ( jω )) = T ( j ω ) .e j φ (ω ) = e α ( ω )+ j φ ( ω ) ,
( 1 .2)

em que o módulo |T(jω)|, também se pode representar pela exponencial da atenuação α (ω), por

T ( jω) = e α( ω ) , vindo
T( jω) = e α (ω )+ j φ( ω) .
A resposta dofiltro ao regime forçado sinusoidal costuma ser representada pelo conhecimento das
seguintes funções da frequência:

G(ω ) = 20. log 10 T ( jω ) = 8,686.α (ω )
A(ω ) = −G(ω )
φ (ω ) = arctan
τ (ω ) = −

ℑ (T ( j ω ))
ℜ( T ( jω ))

.

dφ (ω )

( 1 .3)

1

- A razão é simples. O projecto de filtros passa quase sempre por obter um filtro passa-baixo de referência, para a partir deste,
se obteremoutros tipos de filtros. Os filtros passa-baixo mais comuns só têm pólos, ou seja, a função de transferência tem um
numerador constante e, por isso, é mais cómodo trabalhar com a função inversa pois esta só tem numerador.

Moisés Piedade, IST, Março de 2002

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

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em que G (ω) é o ganho , A (ω) é a atenuação, e τ (ω) é o atraso de grupo do sistema. Para um
sistema real, omódulo |T(jω)| é uma função par da frequência e φ (ω) é uma função ímpar.
Exercício 1.1- Cálculo da resposta de um sistema
Considere um sistema com H(s) = s. Calcule o ganho, a atenuação, a fase e o atraso de grupo para a frequência ω = 0 e ω
= 1000 rads-1.
Resolução:
O sistema é um integrador. T(jω) = 1/(jω) = (1/ω).e -j π/2 para ω > 0; e T(jω) = 1/(jω) = (1/ω).e + j π/2 para ω < 0, pois a fase
éimpar de ω, vindo φ(ω) = (1- u(ω)).π/2, em que u(ω) é a função degrau. τ(ω) = δ(ω).π/2. Para ω = 0: G(0) = ∞ , A(0) = -∞ ,
φ(0-) = π/2 e φ(0+) = -π/2; τ(0) = ∞ . Para ω = 1000 rads-1: G(1000) = -60 dB , A(1000) = 60 dB, φ(1000) = -π/2, τ(1000) = 0.

1.1.1. RESPOSTA DE UM SISTEMA IDEAL
Um sistema ideal, quando for excitado na sua entrada, com um sinal x(t), deve originar na sua saída
um sinal y(t) queé igual ao sinal de entrada. Tal sistema não existe, pois teria de ter T(jω) = 1 para todas
as frequências, o que não é fisicamente realizável, dado que todos os sistemas físicos têm uma largura de
banda de frequências finita e, no seu funcionamento, todos introduzem um atraso temporal da resposta
relativamente à entrada. Admitindo, contudo, que o sinal de saída é igual ao de entrada, a menos...
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