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Resolução das atividades complementares Matemática
M17 — Sólidos Geométricos
p. 80

1 (MACK-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma
face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. 10 Resolução: F 53 111112  F 57 3 ? 3 11? 4 11? 51 2? 6 A 5 ⇒ A 5 30  A 5 15 2 2 V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 15 1 7 5 2  V 5 10

2 (UnB-DF) Qual o número delados das faces de um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas?
Resolução: V 2 A 1 F 5 2 ⇒ 20 2 30 1 F 5 2  F 5 12 F ? n 12 ? n A 5 ⇒ 30 5  n 5 5 lados 2 2

5 lados

Em questões como a 3, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

3 (UFSC) Dado o poliedro regular, é correto afirmar:
(01) É um tetraedro. (02) É um octaedro. (04) Todas asarestas são iguais. (08) Obedece à relação de Euler. (16) Suas faces são triângulos eqüiláteros. (32) Tem 12 arestas. Resposta: 62

Resolução: (01) Falsa, pois o poliedro tem oito faces. São corretas as afirmativas 2, 4, 8, 16 e 32, somando 62.

4 (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.
Calcule o número de faces. 8 faces Resolução:V2A1F52 A5V16 V 2 (V 1 6) 1 F 5 2 ⇒ V 2 V 2 6 1 F 5 2 ⇒ F 5 8 O poliedro possui 8 faces.



e o número de vértices desse poliedro são, respectivamente: a) 30 e 40 c) 30 e 8 b) 30 e 24 d) 15 e 25

5 (PUC-RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas
e) 15 e 9

Resolução: 5 faces triangulares  F 55 13 58 3 faces pentagonais g 5 ? 3 1 3 ? 5 A5 5 15 2 V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 15 1 8 5 2 ⇒ V 5 9

6 Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula

tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominadafulereno. Determine o número de átomos de carbono nessa molécula e o número de ligações entre eles. A molécula possui 60 átomos e 90 ligações. Resolução: Sendo V o número de átomos e A o número de ligações entre eles: face pentagonal: 12 ? 5 5 60 ligações face hexagonal: 20 ? 6 5 120 ligações Como cada aresta (ligação) foi contada duas vezes: 2A 5 60 1 120  A 5 90 O número de átomos (vértices) podeser obtido pela relação de Euler. V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 90 1 32 5 2  V 5 60 A molécula possui 60 átomos e 90 ligações.

7 (UFPel-RS) Quando João entrou na sala do professor, fez uma observação sobre a beleza do objeto

de vidro que estava sobre os papéis do mestre. Este, não resistindo à tentação de propor um problema, característica do matemático, apresentou ao aluno a seguinte questão: —Calcule o número de arestas e de vértices deste peso de papel, que é um poliedro convexo de 6 (seis) faces quadrangulares e 2 (duas) hexagonais. Responda à questão proposta no texto acima. 18 arestas e 12 vértices Resolução: 6 ? 4 1 2? 6 5 18 2 V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 18 1 8 5 2 ⇒ V 5 12 O poliedro tem 18 arestas e 12 vértices. r F 56 1 258 A 5



8 Um poliedro convexo tem como faces 2hexágonos regulares e 6 quadrados. Sabendo que todas
as arestas desse poliedro medem a, determine a área total da superfície desse poliedro. 3a 2 ( 2 1 Resolução: a2 3 5 Sb 4 5 a 2  S  5 6a 2 3)

S hexágono 5 6 ? Squadrado

S t 5 S  1 2S b S t 5 6a 2 1 2 ? 6 ? a2 3 5 3a 2 ( 2 1 4 3)

9 Sabendo que as arestas medem 4 cm cada uma, determine a área total da superfície dos seguintes
poliedros:a) hexaedro regular 96 cm2 b) icosaedro regular 80 3 cm2

Resolução: a) o hexaedro possui 6 faces quadradas  St 5 6 ? 42 5 96 cm2 b) o icosaedro possui 20 faces triangulares  S t 5 20 ? 42 3 5 80 3 cm2 4

pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas b) 12 vértices e 11 arestas

10 (Fuvest-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa
c) 22...
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