vetores

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( B A C HA R EL A DO)
ÁL G EB R A L I NEAR
PR OF. L EA NDR O TEL ES

Unidade 1- Vetores
 O módulo de um vetor (a distância entre os pontos

do vetor). u 

 x  a ²   y  b ²   z  c ²

 Versor de um vetor

v
 v' v  Todo versor é unitário. Vetor unitário é todo vetor

cujo módulo é 1. v 1

Exemplo:
 Achar m de modo que o vetor

unitário.


2

 3 m ²      0²  1
 5
9
m² 
1
25
16
m² 
25
4
4
m m 5
5

3 

m,  , 0 

5 


seja

Norma de um vetor (Comprimento)
 O comprimento de um vetor v de R 2 ou R3 é

usualmente denotado pelo símbolo:

v  v1 ²  v2 ²

 Em R³

v  v1 ²  v2 ²  v3 ²

 Se v   v1 , v2 ,..., vn  é um vetor em

R n , então o

comprimento de v, também denominado norma de v ou magnitude de v é denotado por v e definido pela fórmula.
 v  v1 ²  v2 ²  v3 ²  ...  vn ² (norma euclidiana)
 Exemplos:
 Calcular a norma do vetor v=(-3,2,1) em R³.

v  (3)²  (2)²  (1)²  14

 E a norma do vetor v=(2,-1,3,-5) em



R4

v  (2)²  (1)²  (3)²  (5)²  39

 Como os comprimentos de vetores em R² e R³ são

números não-negativos e como 0 é o único vetor de comprimento zero, segue que v  0 e que v  0 , se, e somente se, v=0. n  Se v é um vetor em R e se k é qualquer escalar, então: v 0 v  0 se, e somente se, v  0 kv  k v
 Encontre um vetor unitário u que tem a mesma

direção e sentido do que v = ( 2, 2, -1).
 v  2²  2²  (1)²  9  3 , Assim temos que:
1
1
2 2 1 u  .v  .(2,2, 1)  u   , ,   v 3
 3 3 3

Vetores Unitários Canônicos
 Vetores unitários nas direções positivas dos eixos






coordenados.
Em R²: i=(1,0) e j =(0,1)
Em R³: i=(1,0,0) e j=(0,1,0) e k=(0,0,1)
Cada vetor em R² pode ser expresso em termos dos vetores unitários canônicos v= (v1 , v2 )  v1 (1,0)  v2 (0,1)  v1i  v2 j
Cada vetor em R³ pode ser expresso em termos