Vetores - fisica

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Vetores
V´rias grandezas f´
a
ısicas, tais como por exemplo comprimento, ´rea, volume, tempo, massa e temperatura
a
s˜o completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) ´ dada. Tais grandezas s˜o chamadas
a
e
a
escalares e s˜o modeladas por n´ meros reais. Outras grandezas f´
a
u
ısicas n˜o s˜o completamente caracteriaa
zadas at´ que uma magnitude, uma dire¸˜o e umsentido sejam especificados. Exemplos s˜o deslocamento,
e
ca
a
velocidade e for¸a. Tais grandezas s˜o chamadas vetoriais e s˜o modeladas por vetores.
c
a
a
Primeiramente, introduziremos o conceito de vetor do ponto de vista geom´trico, o que permite uma
e
vis˜o intuitiva dos vetores e de suas rela¸˜es entre si. Por isso, vamos nos restringir ao plano (espa¸o
a
co
c
bidimensional) e aoespa¸o (espa¸o tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos vetores do ponto de
c
c
vista alg´brico, o que nos permitir´ estudar vetores em espa¸os de mais de trˆs dimens˜es, a vis˜o geom´trica
e
a
c
e
o
a
e
que n´s adquirimos estar´ sempre ao nosso lado para nos guiar.
o
a

Defini¸˜o geom´trica de vetores
ca
e

A

.

AB
B

.
v

Dois pontos distintos A e B no espa¸odeterminam uma reta. Esta reta ´ uma dire¸˜o no espa¸o. N˜o
c
e
ca
c
a
precisamos da reta toda para determinar esta dire¸˜o; o segmento da reta entre os pontos A e B , que ´ a
ca
e
parte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem para determinar esta dire¸˜o. Este
ca
segmento de reta pode ser facilmente orientado, provendo um sentido para o segmento, se considerarmos
umdos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com ponto
inicial A e ponto final B ser´ denotado por AB . Pontos ser˜o considerados como segmentos orientados: um
a
a
ponto ´ um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A ´ identificado com o segmento orientado AA
e
e
com ponto inicial A e ponto final tamb´m A. Al´m disso, podemos falar nocomprimento de um segmento.
e
e
O comprimento do segmento determinado por A e B ´ denotado por AB .
e
1

Segmentos orientados possuem portanto uma dire¸˜o, um sentido e um comprimento. No entanto, eles
ca
tamb´m s˜o caracterizados pelo seu ponto inicial. S˜o modelos (representa¸˜es) de vetores localizados,
e
a
a
co
onde o ponto de aplica¸˜o do vetor ´ importante; n˜o os consideraremosneste curso. Vetores s˜o unicamente
ca
e
a
a
caracterizados por dire¸˜o, sentido e magnitude. Eles ser˜o representados por segmentos orientados desde
ca
a
que fizermos a seguinte conven¸˜o: segmentos orientados pertencentes a retas paralelas tais que, quando
ca
estas retas s˜o movidas uma em dire¸˜o ` outra at´ coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes
a
ca a
e
segmentostamb´m coincidem, representam o mesmo vetor. Assim, um vetor pode ser representado por v´rios
e
a
segmentos orientados diferentes. A situa¸˜o ´ an´loga a dos n´meros racionais, que podem ser representados
ca e a
u
por v´rias fra¸˜es diferentes: as fra¸˜es 1 , 4 , 10 e 111 representam o mesmo n´mero racional.
a
co
co 2 2 5
u
222
Resumindo:
Vetores s˜o representados por segmentosorientados e s˜o caracterizados por
a
a
1. dire¸˜o,
ca
2. sentido,
3. magnitude.
Duas opera¸˜es entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em espa¸os
co
c
de dimens˜es maiores s˜o a soma de vetores e a multiplica¸˜o de vetores por escalares.
o
a
ca

Soma de Vetores
Sejam v e w dois vetores. Sua soma v + w ´ o vetor definido da seguinte maneira:
e

C

AB

Escolha um representante qualquer AB para o vetor v . Para o vetor w escolha o unico representante BC
´
com ponto inicial B , isto ´, igual ao ponto final do representante de v . O vetor v + w ´ representado pelo
e
e
segmento orientado AC , cujo ponto inicial ´ o ponto inicial A de v e cujo ponto final ´ o ponto final C de w.
e
e
Esta defini¸˜o ´ motivada pela interpreta¸˜o de...
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