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PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Veremos aqui uma breve revisão de conceitos de álgebra necessários para o estudo do Cálculo. É bom lembrar que você não pode aprender Cálculo sem esses pré-requisitos, principalmente a álgebra, que podemos considerar como a linguagem do Cálculo.

Frações
Abra qualquer livro de Cálculo e, provavelmente, irá deparar-se com uma fração – não tem como fugir delas.Mas, para trabalhar com elas é necessário que você conheça algumas regras que iremos apresentar a seguir.

Regra no 1
A primeira regra é simples, mas muito importante, pois aparece o tempo todo no estudo do Cálculo: “O denominador de uma fração NUNCA pode ser igual a zero.” Por exemplo,

0 5 = 0 mas é inde inido. 5 0

Regra no 2:
“O recíproco de um número ou expressão é seu inversomultiplicativo – isso significa que o produto de alguma coisa com seu recíproco é igual a 1.” Por exemplo, - o recíproco de

5 4 é 4 5 1 7 1 x −1

- o recíproco de 7 é

- o recíproco de x − 1 é

Profa. Lena Bizelli

PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Regra no 3: Multiplicação de Frações
A adição de números reais é bem mais fácil do que a multiplicação, mas no caso de frações amultiplicação é que é mais fácil. Assim, para multiplicar duas frações, basta multiplicar os numeradores e, em seguida, os denominadores. Por exemplo,

2 5 2 ⋅ 5 10 5 ⋅ = = = 3 4 3 ⋅ 4 12 6

e

a b ab ⋅ = c d cd

Regra no 4: Divisão de Frações
Aprendemos que para dividir uma fração pela outra, é necessário inverter a segunda fração e, em seguida, fazer a multiplicação. Por exemplo,

10 5 10 4 40 ÷ =⋅ = (simplificar a expressão) 3 4 3 5 15 8 = 3
Observe que a simplificação poderia ter sido feita antes de multiplicar.

// 10 5 210 4 8 ÷ = ⋅ = 3 4 3 51 3 /

Regra no 5: Adição e Subtração de Frações
Aprendemos que para adicionar duas frações, com o mesmo denominador, basta manter o denominador e somar os valores dos numeradores. Por exemplo,

2 5 2±5 7 ± = = 3 3 3 3
Agora, paratrabalhar com variáveis, o procedimento é o mesmo, como podemos ver no exemplo abaixo:

a b a±b ± = c c c

Profa. Lena Bizelli

PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

As variáveis comportam-se exatamente como números na adição e subtração de frações. Assim, quando tiver que trabalhar com variáveis em um problema qualquer, pergunte-se como você o resolveria se, ao invés de variáveis, existissem númerosno problema. Então, resolva o problema com variáveis da mesma maneira. Como exemplo, suponha que você precise resolver o seguinte problema:

a b ± c d

( c ≠ 0 e d ≠ 0)

Nesse caso, não seria possível resolver o problema, como no exemplo anterior, pois o denominador das frações não é o mesmo. Pense então, como resolver o problema com números ao invés de variáveis, ou 2 4 seja, como calcular asoma ± ? 3 5 Para fazer isso, primeiramente é necessário encontrar o menor denominador comum (mínimo múltiplo comum) e converter as frações para, em seguida, efetuar a soma como visto anteriormente.

O mínimo múltiplo comum entre 3 e 5 é 15 e, portanto, temos que:

2 4 2 5 4 3 2⋅5 4⋅3 2⋅5 4⋅3 2⋅5 ± 4⋅3 ± = ⋅ ± ⋅ = + = ± = 3 5 3 5 5 3 3⋅ 5 5⋅3 3⋅ 5 3⋅ 5 3⋅ 5

a b ± . Nesse problema, você temum a no c d lugar do 2, um c no lugar do 3, um b no lugar do 4 e um d no lugar do 5. Assim, repetindo os mesmos 2 4 passos seguidos para calcular a soma ± você terá a solução para o problema inicial, ou seja, calcular a 3 5 a b soma ± . c d
Agora, você já está pronto para resolver o problema inicial Assim, temos que:

a b ad ± bc ± = c d cd
Observe que:

Profa. Lena Bizelli PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Regra no 6: Simplificação de Frações
Para finalizar alguns problemas de Cálculo, as vezes é necessário alguns processos algébricos dentre os quais destaca-se o “cancelamento”. Nesse caso, tenha a certeza de que você sabe como cancelar e quando é que pode fazer isso.

Como Cancelar?
Por exemplo, na fração

x4 y3 ( x ≠ 0) x2 z 2
existem xs que podem ser cancelados do...
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