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Instituto Superior Tcnico
e
Departamento de Matemtica
a

Sec~o de Algebra e Anlise
ca
a

Anlise Matemtica II
a
a

2o Teste - 16 de Dezembro de 2006 - 9h

Duraao: 1h30m
c~

Apresente e justi que todos os clculos
a
(2 val.)

1. Seja F uma funao real de nida em R2 por
c~
&

F (x; y ) =

se (x; y ) T= (0; 0)
se (x; y ) = (0; 0).

xy

x4

+y 2

0Estude F quanto a continuidade no ponto (0; 0).

(3 val.)

2. Considere a funao f : R2 3 R3 de nida por f (x; y ) = (sen(xy 2 ); e ; log(1 + x2 )) e seja
c~
g : R3 3 R uma funao diferencivel em R3 tal que
c~
a
y

Dg (0; e; 0) = [ e

 1

e ]:

Calcule a derivada direccional da funao g  f no ponto (0; 1) na direcao do vector
c~
c~
v = (1;  1).
(2 val.)

3. Determine a rectatangente a linha f(x; y; z ) P R3 : z 2 + 1 = y 2 + x2 ; z = y + 2g no

ponto (1;  1; 1).
4. Considere a funao h(x; y ) = x2   y 2 + x3 .
c~

(2,5 val.)
(2,5 val.)

(a) Determine e classi que os pontos de estacionaridade de h na regi~o x2 + y 2 < 1.
a
(b) Justi que que h tem extremos absolutos na regi~o x2 + y 2 1 e determine-os.
a
5. Considere o sistema

&

z + log(y 2 + x2 z) = 1
y   x = 1:

(2 val.)
(3 val.)

(a) Mostre que este sistema de ne y e z como fun~es de x em torno do ponto (0; 1; 1).
co
(b) Calcule as derivadas (0) e (0).

(3 val.)

6. Seja f : R 3 R uma funao de classe C (isto , f tem derivadas parciais cont
c~
e
nuas
at ordem k). Assumindo que f (0) = 0 e todas as derivadas parciais de f de ordem
e
menor ou igual a k   1 se anulamna origem, mostre que

dy

k

dz

dx

dx

n

k

W 0 2 V (0) kf (x)k
1

C>

x

B

C kxk :
k

Resolu~o indicativa
ca
1
e, portanto, o limite
lim F (x; y )
2x
( )!(0 0)
n~o existe. Dado que F (0; 0) = 0 conclumos que F n~o  contnua na origem.
a

ae


1. Fazendo y = x2 ; temos F (x; y ) = F (x; x2 ) =

x;y

2.

D (g  f )(0; 1) = Dg (f (0; 1))Df(0; 1)
v

= Dg (0; e; 0)Df (0; 1)
P

=
=

Q

;

v

kvk

v
kvk

1
104p 5
2
e  1 e R0 eS
1
p2
00  

¢

£

p

2e

3. A recta tangente pode ser de nida pelas equaoes cartesianas:
c~
@

(x   1; y + 1; z   1) ¡ ( 2; 2; 2) = 0
(x   1; y + 1; z   1) ¡ (0;  1; 1) = 0

D

@

z+y x+1=0
z =y+2

2
4. (a) Fazendo rh(x; y ) = 0 obtemos os pontos deestacionaridade (0; 0) e (  ; 0): Anal3
isando as matrizes Hessianas de h nestes pontos,
!

!

2
 2 0 ;
H (  ; 0) =
0  2
3
2
conclumos que (0; 0)  um ponto de sela e (  ; 0)  um ponto de mximo de h:

e
e
a
3
(b) Seja D = f(x; y ) P R2 : x2 +y 2 1g: Sendo h uma funao cont
c~
nua e D um comjunto
compacto, pelo Teorema de Weierstrass, h tem mximo e mnimo em D: Da al
a

neaanterior, a funao h tem apenas um extremo no interior de D: Os extremos de h na
c~
fronteira de D; ou seja, no conjunto de nido pela equaao x2 + y 2 = 1; podem ser
c~
determinados recorrendo ao mtodo dos multiplicadores de Lagrange.
e
Assim, de nindo H (x; y ) = x2 + y 2   1; teremos

H (0; 0) =

@

2
0

0
 2 ;

D(h + H )(x; y ) = 0
H (x; y ) = 0

V
b2x + 3x2
`

+ 2x =0
D by(   1) = 0
X2
x + y 2 = 1:

As soluoes deste sistema s~o os pontos
c~
a
( 1; 0) ; (1; 0) ; (0;  1) ; (0; 1);
ou seja, os extremos da funao h em D s~o os pontos
c~
a
2
( 1; 0) ; (1; 0) ; (0;  1) ; (0; 1) ; (  ; 0):
3
Calculando os valores de h em cada um destes pontos, conclumos que h atinge o

mximo no ponto (1; 0) e o mnimo nos pontos (0;  1) e (0; 1):
a


5.(a) Seja F : R3 3 R2 a funao de classe C 1 de nida por
c~

F (x; y; z ) = (z + log(y 2 + x2 z )   1; y   x   1):
Note-se que F (0; 1; 1) = (0; 0) e que
!

0 21
DF (0; 1; 1) =
 1 1 0 :
Portanto,

!

21
det D F (0; 1; 1) = det
=  1 T= 0
10
y;z

e, pelo Teorema da Funao Implcita, o sistema dado de ne y e z como funoes de
c~

c~
1 de x em alguma vizinhana do ponto (0; 1;...
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