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Gabarito P1 – CGA/2012

1) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão e sua altura s (em metros) no instante t (em segundos) é dada por S(t) = – t2 + 9t. Com base nos dados acima,determine: a) Qual é a altura da bola após 3 segundos? b) Qual é a velocidade da bola no instante t?

S(3) = –(3) + 9(3) = –9 + 27 = 18 S(3) = 18 m

2

v(t) = S’(t) = –2t2–1 + 9t1–1 v(t) = –2t +9

2) Suponha que daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada localidade seja N(t)=10t2+ 30t + 1500. Determine a taxa de variação do número de pessoas queutilizarão a internet daqui a 3 anos.

N’(t) = 20t + 30 N’(3) = 20(3) + 30 = 60 + 30 N’(3) = 90 pessoas/ano
3) Uma torneira lança água em um tanque, sendo que o volume de água no instante t (em minutos) éigual a V(t) = 4t3 + 5t (em litros). Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de V(t) no ponto de abscissa t =2.

Eq. da Reta: y(t) = at + b Agora, V’(t) = 12t + 5
2

Daí: y(t) = 53t + bAgora, em t = 2 min. V(2) = 4(2)3 + 5(2) = 4(8) + 10 V(2) = 42 litros E como y(2) = V(2), então y(2) = 42 litros

Portanto: y(2) = 53(2) + b ou, 42 = 106 + b b = 42 – 106 b = –64 litros Finalmente, aEq. da Reta é: y(t) = 53t – 64

V’(2) = 12(2)2 + 5 = 48 + 5 V’(2) = 53 litros/min. Mas a = V’(2),

então: a = 53 litros/min.

4) Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas:
4 x

a) y= 2x - 3cosx + 5

b) y = 5lnx + 3x + 7e

y’ = 8x3 – 3(–sen x) y’ = 8x3 + 3sen x
| ⃗⃗| 5) Dados os vetores no plano a) ⃗ ⃗⃗ √

v  (3 , 6) e

u  2i  3 j , determine:
b) O módulo de ⃗⃗:  u ˆ  u u
 x  x2 y1  y2 z1  z2  M  1 ; ;  2 2   2

= (–3; 6) + 2(2; –3) = (–3; 6) + (4; –6) = (1; 0)

| ⃗⃗| | ⃗⃗| | ⃗⃗|

√ √ √ ⇒ | ⃗⃗| √

c) o versor de ⃗⃗: ⃗⃗ | ⃗⃗|
⃗⃗ | ⃗⃗|d) os pontos médios de ⃗ e ⃗⃗: ⃗⃗



( (

) )

⇒ ⇒

⃗⃗ ⃗⃗

( (

) )

(



) (OK!)

⃗⃗

ou, racionalizando o denominador

⃗⃗ | ⃗⃗|

(



)

6) Dados os...
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