Trabalho escolar

Aula 18

Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ,

onde A = 0 ou B = 0

ou C = 0

Vamos considerar primeiro os casos em que B = 0. Isto é, vamos estudar a equação:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1.

Elipse

Definição 1
Uma elipse, E, de focos F1 e F2 , é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c ≥ 0. Ou seja:
E = { P | d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a } ,
0 ≤ c < a ; d(F1 , F2 ) = 2c

Terminologia
• Como dissemos na definição, os pontos F1 e F2 são os focos da elipse.
• A reta que contém os focos é a reta focal.

Fig. 1: Posicionamento dos focos da elipse na reta focal.

• A intersecção da elipse com a reta focal consiste de exatamente dois pontos, A1 e A2 , chamados vértices da elipse sobre a reta focal.
De fato, seja A ∈ E ∩ . Então A ∈ F1 F2 , pois se A ∈ F1 F2 , teríamos
2c = d(F1 , F2 ) = d(A, F1 ) + d(A, F2 ) = 2a ,

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isto é, 2c = 2a, o que é impossível, já que, por definição, 2c < 2a.
Seja A2 ∈ E ∩ − F1 F2 tal que x = d(A2 , F2 ).
Como 2a = d(A2 , F1 ) + d(A2 , F2 ) = x + 2c + x, pois A2 ∈ E, temos que x = a − c.

Fig. 2: Posicionamento dos vértices em relação aos focos da elipse na reta focal.

Logo o ponto A2 pertencente a − F1 F2 , que dista a − c do foco F2 , pertence à elipse E. De modo análogo, temos que o ponto A1 pertencente a − F1 F2 que dista a − c do foco F1 , pertence à elipse E.

Fig. 3: Determinação da distância dos vértices aos focos da elipse.

• O segmento A1 A2 é denominado eixo focal da elipse. O seu comprimento é 2a.

Fig. 4: Posicionamento dos focos, vértices e centro da elipse na reta focal.

• O ponto médio C do eixo focal A1 A2 é o centro da elipse. Esse ponto é, também, o ponto médio do segmento F1 F2 , delimitado pelos focos.
• A reta

que passa pelo