Trabalho de Calculo 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

SEGUNDA TAREFA DE MATEMÁTICA - MAT020

Curso: Relações econômicas Internacionais

Gráfico da função
Para diferentes valores de a (no gráfico

e

) temos

Em outro angulo temos

O gráficos acima sao da função

, para

Dessa forma podemos perceber o comportamento da função

quando o valor da

constante a é aumentado. Nos gráficos, também fizemos os esboços das curvas de e identificar

para podermos analisar as regiões de crescimento e decrescimento,

os pontos críticos de máximo, de mínimo, de inflexão e as regiões de concavidade e convexidade da função
Para

= f(x) = (x a^(x) (a - 1)) / (a^(x) - 1) - 1 (curva vermelha) temos:

f'(x) = (10^(2x + 1) - 10^(x + 1) ln(10) x - 10^(x + 1) - 10^(2x) + 10^(x) ln(10) x + 10^(x)) /
10^(2x) - 2 (10^(x)) + 1) (curva verde), e f''(x) = (10^(2x + +21) ln(10)² x - 2 (10^(2x + 1)) ln(10) + 10^(x + 1) ln(10)² x + 2 (10^(x +
1))
ln(10) - 10^(2x) ln(10)² x + 2 (10^(2x)) ln(10) - 10^(x) ln(10)² x - 2 (10^(x)) ln(10)) / (10^(3x)
- 3 (10^(2x)) + 3 (10^(x)) - 1) (curva azul)
Para a=1,2 temos

Para a = 1,5 :

Para a = 1,8 :

Analisando os gráficos, concluímos que para um dado a, a medida que x aumenta, f(x) também aumenta
O comportamento das curvas nos mostra que a taxa de variação de f(x) tende a se estabilizar em um valor mais alto rapidamente
- Regiões de crescimento e decrescimento
A função

apresenta sempre um valor crescente. Podemos justificar esse

comportamento verificando no gráfico que

é sempre positiva para todo x > 0

Analiticamente, (conforme roteiro fornecido) temos que a utilização da função auxiliar

e o cálculo de sua derivada

concluímos que
Portanto,

e isso implica que a função g é crescente.

Pontos críticos de máximo e de mínimo:
A função não possui pontos críticos um ponto de mínimo que corresponde a função pela condição
Ponto crítico de inflexão:

Encontramos, no entanto,
Isso ocorre devido ao