Teoria eletromagnetismo

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NÚMEROS COMPLEXOS EM
ELETRÔNICA
É uma forma na qual se inclui ângulo de fase e magnitude de uma ou mais
grandezas.
Uma expressão complexa compreende uma parte real e uma parte imaginária,
conforme mostra a figura abaixo.

j é um operador que varia de 0º a 360º, em ângulos de 90º.
O ângulo de 90º é de grande importância na análise de circuitos AC.

1) + 4 indica 4 unidades a 0º
2) - 4indica 4 unidades a 180º
3) j4 indica 4 unidades a 90º

Como j é um operador a 90º, isto significa que em 180º ele é repetido 2 vezes,
em 270º é repetido 3 vezes e assim por diante.

RESUMINDO
0º = 1
90º = + j
180º = j2 = - 1
270º = j3 = j2. j = - 1. j = - j
360º = 0º = 1

ETE ALBERT EINSTEIN - NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRÔNICA
FORMULÁRIO PARA CIRCUITOS AC
Prof. Edgar Zuim

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Aexpressão complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real ± parte
complexa onde j é sempre escrito antes do número. Exemplo:

4 ± j2
RELAÇÃO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR
3 representa um número real ( neste caso uma resistência de
valor igual a 3Ω);
o ângulo de 90º ou +j é usado para representar XL (4Ω );
portanto: Z = 3 + j4

como no caso anterior, 3 representa uma resistênciano valor de
3Ω ;
o ângulo de - 90º ou - j é usado para representar XC (4Ω);
portanto: Z = 3 - j4
Podemos então representar circuitos na forma complexa retangular conforme
exemplos abaixo:

Z2 = R2 + XL2
Z = 8 + j5

Z2 = R2 + XC2
Z = 1 0 - j6

IT2 = IR2 + IC2
IT = 1 + j3

IT2 = IR2 + IL2
IT = 1 - j3

O operador j indica uma relação de fase diferente de zero entre a parte real e aparte imaginária.
Tomemos como exemplo impedâncias:
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Se R = 0 e XC = 10Ω
Se R = 10Ω e XC = 0
Se R = 0 e XL = 10Ω
Se R = 10Ω e XL = 0

Z = 0 - j10
Z = 1 0 - j0
Z = 0 + j10
Z = 1 0 + j0

Vejamos alguns exemplos abaixo de circuitos mais complexos:

ZT = (9 + j6) + (3 - j2)
ZT= 12 + j4

111
1
=+
+
ZT 4 j8 - j 5

ZT =

(9 + j 5) . (3 - j 2)
(9 + j 5) + (3 - j 2)

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
I - ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO:
Soma-se ou subtrai-se a parte real e a parte imaginária ( j ) separadamente:
a) (9 + j5) + (3 + j2)

(9 + 3) + (j5 + j2) = 12 + j7

b) (9 + j5) + (3 - j2)
c) (9 + j5) + (3 - j8)

(9 + 3) + (j5 - j2) = 12 + j3
(9 + 3) + (j5 - j8) =12 - j3

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II - MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE UM
IMAGINÁRIO ( termo j ) POR UM NÚMERO REAL

NÚMERO

Basta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo:
a) 4 . j3 = j12
b) j5 . 6 = j30
c) j5 . -6 = -j30

d) j12 ÷ 3 = j4
e) -j30 ÷-6 = j5
f) j30 ÷ -6 = -j5

g) j3 ÷ 4 = j0,75h) 1,5 . j2 = j3
i) 4 . j0,75 = j3

III - DIVISÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( divisão de um termo j por um termo j )
A divisão produzirá um número real ( as partes imaginárias ou os termos j se
cancelarão), conforme exemplos abaixo:
a) j12 ÷ j3 = 4
b) j30 ÷ j5 = 6

c) - j12 ÷ j3 = - 4
d) j30 ÷ - j6 = - 5

e) - j30 ÷ - j5 = 6
f) - j15 ÷ - j3 = 5

IV-MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM
NÚMERO IMAGINÁRIO ( multiplicação de um termo j por um termo
j)
Multiplica-se o número e o operador j. A multiplicação dos termos j produzirá
j2. Veja os exemplos abaixo:
a) j3 . j4 = j . j = j2 = j2(3 . 4) = -1(12) = -12
b) j3 . - j4 = j . - j = - j2(3 . 4) = -(-1)(12) = 12

V - MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Basta seguir as regras da álgebra(propriedade distributiva), conforme mostra o
exemplo abaixo:
a) (9 + j5) . (3 - j2)
= 27 + j15 - j18 - j210
= 27 - j3 + 10
= 37 - j3

observe que j2 = -1

VI - DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A divisão de um número real por um número complexo não é possível.
Consideremos a expressão:

4 - j1
1 + j2

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