Teoria dos conjuntos

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 8 (1952 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 19 de abril de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
Teoria dos Conjuntos
Antonio Alfredo Ferreira Loureiro
loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

1

Introdução
• O que os seguintes objetos têm em comum? – um grupo de pessoas – um rebanho de animais – um buquê de flores – uma dúzia de ovos • Conjunto: coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros doconjunto. – As palavras “conjunto” e “elementos” são termos indefinidos da teoria dos conjuntos. • Teoria dos conjuntos: base do pensamento matemático. – Todos objetos matemáticos podem ser definidos em termos de conjuntos.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

2

Introdução
• Notação: Seja S um conjunto e a um elemento de S. – a ∈ S: a pertence a S – a ∈ S: a não pertence a S •Axioma da extensão: – Um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos. – A ordem na qual os elementos são listados é irrelevante. – Elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

3

Formas de definir um conjunto
• Listar seus elementos entre chaves: – {Ana, Roberto, Carlos} – {Roberto, Carlos, Ana} – {Roberto, Roberto, Ana,Carlos, Ana} • Especificar uma propriedade que define um conjunto como S = {x|P (x)}: – {x ∈ Z| − 2 < x < 5} – {x ∈ R| − 2 < x < 5} § P (x) não pode ser uma propriedade qualquer. Exemplo: S = {A|A é um conjunto e A ∈ A}; S ∈ S? [Paradoxo de Russel] • Usar uma definição recursiva: 1∈A – se x ∈ A e x + 2 < 10, então x + 2 ∈ A

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

4

Formas de definirum conjunto
• Usar operações sobre conjuntos para criar novos conjuntos: – S = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ P • Especificar uma função característica: k para x = 1, 3, 5, 7, 9 – µA(x) = 0 caso contrário § Nem sempre é possível utilizar todos os tipos de definição: Exemplo: S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} Não é possível definir S listando os elementos.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

5 Relações entre conjuntos: Subconjuntos
• Definição: Se A e B são conjuntos, A é chamado subconjunto de B, escrito A ⊆ B, sse cada elemento de A também é um elemento de B. • Simbolicamente: A ⊆ B ⇔ ∀x, se x ∈ A então x ∈ B. • As frases “A está contido em B” e “B contém A” são formas alternativas de dizer que A é um subconjunto de B.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

6

Relações entreconjuntos: Subconjunto próprio
• Definição: Se A e B são conjuntos, A é subconjunto próprio de B sse cada elemento de A está em B mas existe pelo menos um elemento de B que não está em A. • Simbolicamente: A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A = B.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

7

Relações entre conjuntos: Diagramas de Venn
• Se os conjuntos A e B forem representados por regiões noplano, relações entre A e B podem ser representadas por desenhos chamados de Diagramas de Venn. • Exemplo 1: A ⊆ B.

A

B

A

B

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

8

Relações entre conjuntos: Diagramas de Venn
• Exemplo 2: A ⊆ B.

A

B

A

B

A

B

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

9

Relações entre conjuntos: Igualdade
• Definição:Dados os conjuntos A e B, A = B sse cada elemento de A está em B e cada elemento de B está em A. • Simbolicamente: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A.

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

10

Operações sobre conjuntos
Sejam A e B subconjuntos do conjunto universal U . • União: A ∪ B = {x ∈ U |x ∈ A ou x ∈ B} Notação: A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = ∪n Ai i=1 • Interseção: A ∩ B = {x ∈ U |x ∈ A e x ∈B} Notação: A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = ∩n Ai i=1 • Diferença: B − A = {x ∈ U |x ∈ B e x ∈ A} • Complemento: Ac = {x ∈ U |x ∈ A}

UFMG/ICEx/DCC

MD

·

Teoria dos Conjuntos

11

Tuplas ordenadas
• Seja n um inteiro positivo e seja x1, x2, . . . , xn uma sequência de elementos não necessariamente distintos. • A n-tupla ordenada, (x1, x2, . . . , xn), consiste de: – elementos da...
tracking img