Teoria dos conjuntos

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MATEMÁTICA DISCRETA




TEORIA DOS CONJUNTOS



PROFESSOR
WALTER PAULETTE

FATEC SP

2009 02














TEORIA DOS CONJUNTOS


CONCEITO DE CONJUNTOS
A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor ( 1845-1918). Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e são aceitas semdefinição, assim também são conceitos primitivos:

Conjunto, elemento e a relação de pertinência.

Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando uma propriedade característica dos mesmos.
Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominadoselementos.

Exemplo 1:
Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0,2,4,6,8,...} e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(1834– 1923), matemático e lógico inglês), como:

A

Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos
a * A ( leia: a pertence a A) caso contrário( leia: a não pertence a A)

Exemplo 2:
Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se :
(2 pertence a A)
(não pertence a A)


2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição 01:
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é também um elemento de B.

Notação: ( A é subconjunto de B ), casocontrário A  B .

Exemplo 3:
a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então
b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então




3. IGUALDADE

Definição 02:
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.
Simbolicamente
A = B * e .
Exemplo 4:
Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, e .

Exercícios de aplicação 1:
Use a noção depertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.
1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, então
a) B A ( ) d) {1,2} A ( )
b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( )
c) 2∉B ( ) f) {4} A ( )

2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então
a) B A ( ) d) {a, b} A ( ) e) {a, b} A ( )
b) aA ( ) c) b B ( ) f) {a} * A ( )

3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com
a) A.........B c) {1,2,3}.......B
b) {1,2}.....A d) 3.............B

4. CONJUNTO VAZIO

Definição 03:
Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento.
O Símbolo usual para conjunto vazio éExemplo 5:
O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio. Simbolicamente


5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definição 04:
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo 6:
Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:
P(A) = {{a},{b},{c},{a, b},{a,c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o número de elementos de P(A) é 8 = ( 2 elevado ao número de elementos de A )




Exemplo 7:
Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:
a) A=
b) A={a}
c) A= {a, b}
d) A= {a, b, c}
Resolução:
(a) A = , P(A) ={ } , logo n(P(A)) = 1 = 2°
(b) A = {a}, P(A)= { , {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹
(c) A = {a, b}, P(A) ={{a},{b},{a, b}, }. logo n(P(A)) = 4 = 2²
(d) A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n(P(A))=8 =2³.
Dessa maneira podemos escrever:
Se n(A) = , então n(P(A)) = 2° = 1
Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2
Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4
Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8
.........................................................
Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n...
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