Teoria dos conjuntos

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eoria dos Conjuntos

1. Introdução

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.

Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitosprimitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.

Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo quenão tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.


2. Notação e Representação

A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.

A. Listagem dos Elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementosquando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.

Exemplos

1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul,branco}

2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


B. Uma Propriedade de seus elementos

A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que oconjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.

A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos

1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2º) Seja C o conjuntodos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}


C. Diagrama de Euler-Ven

A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementosque não pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo

Conjuntos


3. Relação de Pertinência

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

Conjuntos

em que o símbolo Pertence a é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo depertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos:

Conjuntos

Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

Conjuntos

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:

Conjuntos

4. Relação de Inclusão Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencertambém a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:

Conjuntos

Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:

Conjuntos

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

Conjuntos...
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