Teoria dos conjuntos

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TEORIA DOS CONJUNTOS


Símbolos


|[pic]: pertence |[pic]: existe |
|[pic]: não pertence |[pic]: não existe |
|[pic]: está contido |[pic]: para todo (ou |
| |qualquer que seja) |
|[pic]: não está |[pic]: conjunto vazio |
|contido | |
|[pic]: contém |N: conjunto dos números|
||naturais |
|[pic]: não contém |Z : conjunto dos |
| |números inteiros |
|/ : tal que |Q: conjunto dos números|
| |racionais |
|[pic]: implica que |Q'= I: conjunto dos |
| |números irracionais |
|[pic]: se, e somente |R: conjunto dos números|
|se|reais |

Na Matemática, conjunto, elemento e relação de pertinência são aceitos sem definição.

Notação: Um conjunto é indicado por letras maiúsculas A, B, C, ..., colocando-se seus elementos entre chaves.

Exemplos:

A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,4}

O conjunto pode ser determinado por uma sentença.

Exemplo:

A = { x/x é número par}

Através dediagrama de Venn

A

a e i

o u






Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence a B.

A ( B ( lê-se A está contido em B (relação de inclusão.

A = {1,2,3,4}
B = {1,2}

A

4
3
1B 2




Obs: ( ( A, ( A

Conjuntos iguais: Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A ( B e B ( A.





Operações sobre os conjuntos:

a) Intersecção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A [pic] B = { x: x [pic] A e x [pic] B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A [pic] B= {a,e}.









Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades:

• ( ( A = (
• A ( A = A
• A ( B = B ( A
• (A ( B) ( C = A ( (B ( C)

b) União

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A [pic] B = { x: x [pic] A oux [pic] B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A [pic] B = {a,e,i,o,3,4}.













Propriedades:

• ( ( A = A
• A ( A = A
• A ( B = B ( A
• (A ( B) ( C = A ( (B ( C)

c) Diferença

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A,mas que não pertencem a B, ou seja:

A - B = {x: x [pic] A e x [pic] B}









Obs: Se B ( A, define-se complementar de B em relação a A:

[pic] = A - B = {x/ x [pic] A e x [pic] B}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

a) Naturais (()

( = {0,1,2,3,4,....} ( necessidade da contagem

3 + 2 ( a (

3 – 4 ( a (

3.2 ( a (

3 : 2 ( a (

b) Inteiros (Z)

Z = { ...,- 3, - 2, - 1, 0,1, 2, 3, ...}

3 – 4 ( a Z

3 : 2 ( a Z
c) Racionais (Q)

Q = {p/q / p e q ( a Z e q ( 0}

3 : 2 ( a Q

Definimos um número racional como um valor x tal que [pic]. Admitindo por redução ao absurdo que p ( 0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma:

[pic], qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta p ? Como pode-se ver facilmente estaigualdade é uma impossibilidade. Deve-se portanto admitir que à medida que o denominador fica próximo de zero, tornando-se muito pequeno, x torna-se excessivamente grande ou infinitamente grande. Assim:
[pic]
Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 0, tem-se:
[pic], qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta zero ? Qualquer valor torna a igualdade 0 = x.0...
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