Teoria de conjuntos

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APOSTILA DE MATEMÁTICA I - PROFª ELISELE VILHENA
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO - 1º PERÍODO

CAPÍTULO 1

CONJUNTOS
1 - INTRODUÇÃO

O conceito de conjunto é primitivo, ou seja, não definido. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma coleção de livros são todos exemplos de conjuntos de coisas. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser umabanana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto em que cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos).
Em geral, indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, ..., e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x,y, ...
Um outro conceito fundamental é o de relação de pertinência, que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. Se x é um elemento de um conjunto, escreveremos x [pic] A. Lê-se: “x é elemento de A” ou “x pertence a A”. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x [pic] A. Lê-se: “x não é elemento de A” ou “x não pertence a A”.

2 - NOTAÇÃO

Quanto à notaçãodos conjuntos, estabelecemos três formas, entre as usuais, de apresentar um conjunto.

Conjunto determinado pela designação de seus elementos

É o caso em que o conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. Indicamo-lo escrevendo os seus elementos entre chaves e separando-os, dois a dois, por vírgula, ou ponto e vírgula.

Exemplos:

a) {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos: 3, 6, 7 e 8.
b) {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos: a, b e m.
c) Conjunto dos números naturais é N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
d) Conjunto dos números inteiros é Z = { ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
e) Conjunto dos múltiplos naturais de 3, menores que 20, é {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

Conjunto determinado pela propriedade de seus elementos

Conhecida umapropriedade P que caracterize os elementos de um conjunto A, este fica bem deter minado.
O termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer, temos:
x [pic] A, se, e somente se, x satisfaz P.
x [pic] A, se e somente se, x não satisfaz P.

Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem apropriedade P}
Podemos substituir tal que por t. q. ou [pic]ou : .
Exemplos:

a) {x, t. q. x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}
b) {x [pic]x é um número natural menor que 4} é o mesmo que {0, 1, 2, 3}
c) {x : x é um número inteiro e x2 = x} é o mesmo que {0; 1}
d) A = {x [pic] Ν [pic]x < 4} = {0, 1, 2, 3}

Conjunto determinado pelo diagrama de Venn-Euler

O Diagrama de Venn-Euler consisteem representar o conjunto por meio de um círculo de tal forma que seus elementos, e somente eles, estejam no círculo. A figura abaixo é o Diagrama de Venn-Euler do conjunto A = {a, e, i, o, u}.










3. Conjunto vazio

Seja A um conjunto. Se para todo elemento x, x [pic] A, dizemos que A é um conjunto que não possui elementos. Chamamo-lo conjunto vazio e o indicamos pela letra Ø doalfabeto norueguês.

Observação
O símbolo n(A) indica o número de elementos do conjunto A. Assim:
a) A = {1, 3, 4} [pic] n(A) = 3 b) A = Ø [pic] n(A) = 0

4. Subconjunto ou parte

Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto ou parte de B e indicamos por A [pic] B.
Em símbolos:



Por outro lado, A [pic]B significa queA não é um subconjunto (parte) de B.
Portanto, A [pic] B se, e somente se, existe pelo menos um elemento de A que não é elemento de B.
Em símbolos:




Exemplos:
a) O conjunto A = {4; 5} é subconjunto do conjunto B = {1,2,3,4,5,6}
b) {2; 4} [pic] {2, 3, 4}
c) {2; 3, 4} [pic] {2; 4}
d) {5; 6}[pic]{5; 6}

Relação de inclusão e relação de pertinência

A definição de subconjunto nos dá...
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