Teoria da Algebra

Em matemática, o teorema fundamental da álgebra afirma que qualquer polinómio p(z) com coeficientes complexos de uma variável e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa. Por outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p (z) = 0 tem n soluções não necessariamente distintas.
Peter Rothe, no seu livro Arithmetica Philosophica publicado em 1608, escreveu que uma equação polinomial de grau com coeficientes reais pode ter soluções. Albert Girard no seu livro L'invention nouvelle en l'Algèbre publicado em 1629, afirmou que uma equação polinomial de grau tem soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum coeficiente é igual a . No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de fato, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos. Por exemplo, ele mostra que a equação embora incompleta, tem quatro soluções (contadas com multiplicidades): Em 1637, Descartes escreve em La géométrie o que anos antes Harriot havia descoberto - se é raiz de um polinómio, então divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n, podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.
Uma consequência do teorema fundamental da Álgebra é que qualquer polinómio com coeficientes reais e grau superior a pode ser escrito como produto de polinómios com coeficientes reais de primeiro ou segundo grau. No entanto, em 1702 Leibniz afirmou que nenhum polinómio do tipo (com real e não nulo) pode ser obtido sob aquela forma. Anos mais tarde, Nicolaus II Bernoulli(1695-1726) afirmou o mesmo relativamente ao polinómio mas recebeu uma carta de Euler em 1742 na qual lhe foi explicado que o seu polinômio era de fato igual a: