Série de Furrie

SÉRIE DE FOURIER

Jackson Araujo1, Luciano2, Rafael3, Magno4, Cleber5

1) Funções periódicas

1.1) Conceitos gerais sobre funções periódicas

Uma função f de R em R é periódica, se existe um número p pertencente R tal que para todo x pertencente a R: f(x+p)=f(x). Na figura 2.1 tem-se um exemplo de uma função periódica.

Figura 2.1 Função periódica

Muitas vezes existem vários números com tal propriedade, sendo que o menor número real positivo com essa característica é chamado de período fundamental de f.
Claramente se p é período da função f, todos os seus múltiplos o serão também. Na figura 2.2 ilustra-se tal conceito.

Figura 2.2 Função periódica com período fundamental

2) Série trigonométrica

Uma série trigonométrica é uma representação em séries de funções trigonométricas da forma:

Uma série de senos e cossenos do tipo:

É dita série trigonométrica, onde na maior parte das aplicações a variável x é real. Estas séries representam funções periódicas de período 2π, e a soma também será uma função periódica de período 2π. As funções periódicas podem ser representadas por meio de uma série trigonométrica, deste que f(x) satisfaça os requisitos de convergência estabelecidos por meio das condições de Dirichlet.

3) Núcleo de Dirichlet

O Núcleo de Dirichlet é definido para todo x ∈ ℝ, por:

É possível mostrar que se , então:

Como , tomando e teremos para todo

Assim:

Somando membro a membro as igualdades acima e dividindo a soma por 2 , teremos o resultado. No ponto , definimos

1. A função deve ser contínua, e assim limitada, no intervalo (-π,π) exceto talvez em um número finito de pontos de descontinuidade finita.

Exemplo:

Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0.

2. Dividindo-se o intervalo (-π,π) em um número finito de subintervalos, a função se comportará de forma monótona em cada