Superf Cies

superfícies

CONCEITOS, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE SUPERFÍCIES.

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

SUPERFÍCIES

CURSO: Engenharia química
DISCIPLINA: Geometria Analítica
PROFESSOR: Danilo Santana ALUNOS: Ana Caroline, Beatriz Alves, Daniele,
Fabrício Tanajura, Michele Matos.

Salvador – 06 de fevereiro de 2014

Sumário

Superfícies

Uma superfície no espaço é um conjunto de pontos no espaço R³ tal que, olhando numa vizinhança pequena de qualquer um de seus pontos, enxerga-se um pedaço de plano possivelmente com alguma deformação não muito grave (rasgos, por exemplo, não seriam permitidos). Cada plano estudado em Geometria Analítica é uma superfície (apareceu nas formas de equação (a 3 variáveis reais, tipo ax + by + cz + d = 0) e de parametrização (em 2 parâmetros: x(t, s) = x0 + a1t + b1s, y(t, s) = y0 + a2t + b2s e, z(t, s) = z0 + a3t + b3s em GA, e também poderá ser estudado como gráfico de função de 2 variáveis f(x, y) = ax + by + c).

Superfície Esférica
Equações de uma superfície esférica
Como sabemos da Geometria Euclidiana, dados um ponto C e um numero real positivo p, a superfície esférica S de centro C e raio p é o lugar geométrico dos pontos C de E³ tais que d(X,C) = p, ou, equivalentemente, d² (X,C) = ρ ³.
Fixemos, pois, um sistema ortogonal Σ = (O, i,j,k) e suponhamos que, em relação a ele, C= (x0,y0,z0) e X=(x,y,z). Então, X pertence a S se, e somente se,
(x-x0)² + (y-y0)² + (z-z0)² = ρ²
Esta equação é chamada de equação reduzida da superfície esférica. Desenvolvendo os quadrados na equação acima e passando ρ² para o primeiro membro, obtemos x2 + y2 + z2 - 2x0x - 2y0y - 2z0z + x02 + y02 + z02 - ρ² = 0

que é uma equação da forma: x² + y² + z² + ax + by+ cz + d = 0
Uma equação da superfície esférica S, quando escrito sob esta forma, chama-se equação geral de S; indica-se S: x² + y² + z² + ax + by+ cz + d = 0. Note que, na equação geral, os coeficientes de x², y² e z² são todos iguais a 1. Para