SUPERF CIES QU DRICAS N O CENTRADAS

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS NÃO CENTRADAS

Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1º membro das equações for nulo, elas podem ser escritas sob uma das formas:

Denominadas, qualquer delas, forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica não centrada. As possíveis combinações de sinais nesta equação permitem concluir a existência de apenas dois tipos de superfícies, conforme os coeficientes dos termos de segundo grau tenham o mesmo sinal ou sinais contrários.
PARABOLÓIDE ELÍPTICO

Se nas equações (8) os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a equação representa um paraboloide elíptico
A equação:
É uma forma canônica da equação do paraboloide elíptico ao longo do eixo dos z
As outras duas formas canônicas são:

e representam paraboloides elípticos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. O traço no plano xOy em (9) é a origem (0,0,0) e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas. Respectivamente:

Um traço no plano z = k, k > 0 (Fig. 8.3.1), é uma elipse que aumenta de tamanho á medida que o plano se afasta do plano xOy. Os traços nos planos x = k e y = k são parábolas. Se na equação (9) tivermos a = b, o paraboloide é de revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola:

em torno do eixo dos z. Neste caso, o traço no plano z=k é uma circunferência.
PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

Se nas equações (8) os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais contrários, a equação representa um paraboloide hiperbólico.
A equação:

é uma forma canônica da equação do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo dos z. (Fig.8.3.2).
As outras formas canônicas são:

e representam paraboloides hiperbólicos situados ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente.

A figura mostra um esboço de um paraboloide hiperbólico descrito pela equação (10), onde, c > 0. O traço em (10) no plano xOy é o par de retas:

Isto é:

e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas:

que tem o eixo dos z como eixo de simetria e concavidade para baixo