stewart

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
Faculdade de Matemática

TEOREMAS DE GAUSS E DE STOKES

DIVERGENTE E ROTACIONAL
Para entender os teoremas de Gauss e de Stokes, precisamos definir dois operadores para campos vetoriais que são básicos nas aplicações do cálculo vetorial. Cada operador lembra uma diferenciação, mas um produz um campo escalar enquanto que outro produz um campo vetorial.
Introduziremos o operador diferencial vetorial  (“del”) como:

Ele tem a propriedade de , quando aplicado a uma função escalar f, produzir o gradiente de f: = .
Consideremos, agora, uma campo vetorial em IR3. Se pensarmos em  como um vetor de componentes /x, /y, /z, podemos escrever, simbolicamente, o produto escalar de  por , obtendo, assim, o escalar chamado divergente de : div =  . =
Exemplo 1: Se , ache div. div =  . = = z + xz – 0 = z (1 + x)
Considerando o produto vetorial formal de  por , temos o vetor  X = rot , chamado rotacional de : rot =  X =
Exemplo 2: Se , ache rot. rot =  X =

Teorema da Divergência (de Gauss)

Seja Q um sólido simples e seja  a superfície que limita Q ( = fronteira de Q), orientada positivamente (para fora). Se é um campo vetorial cujas funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém Q, então:

Exemplo 3: Determine o fluxo d0o campo vetorial sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
Como a esfera () é uma superfície que limita o sólido esférico Q: x2 + y2 + z2 ≤ 1, podemos usar o teorema de Gauss, fazendo:
= = volume de  =
Obs.: div = 0 + 1 + 0 = 1

Exemplo 4: Calcule , onde e  é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos z = 0 , y = 0 e y + z = 2.

usaremos o teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em integral tripla.
Escreveremos o sólido Q como: Q = {(x, y, z) | -1  x  1, 0  z  1 – x2, 0  y  2 – z }.
Assim, temos:
= = = =