Soulinda

Álgebra dos Vetores por Mílton Procópio de Borba

I - Vetores no Plano - Retas - Distâncias

1.1. Ponto: P(x,y) ⇒ unidimensional

1.2. Vetor: v = [x,y]

módulo = |v| = [pic] direção = reta passando por O(0,0) e P(x,y) ou paralela sentido = de O para P

2.a) Soma / diferença: [a,b] ± [x,y] = [a ± x , b ± y]

2.b) Múltiplo (paralelo): k.[x,y] = [kx , ky], se k é escalar

2.c) Produto escalar: [a,b].[x,y] = ax + by ( = escalar ) v.w = |v| .|w| .cos ß

1.3 Vetores Básicos: i = [ 1 , 0 ] = unitário na direção OX j = [ 0 , 1 ] = unitário na direção OY v = [ a , b ] = a.i + b.j

1.4. Relação Ponto - Vetor:

Mais geralmente, se v é o vetor que vai do ponto A(a,b) para o ponto B(x,y), então v = [x-a , y-b] = [x,y] - [a,b] = VB - VA ⇒ VB = VA + v

1.5. Distância entre pontos A(x,y) e B(a,b): DAB = |VB - VA |

1.6. Reta R que passa pelo ponto P , na direção do vetor v:

VR = VP + t.v , para todo t real ⇒ infinitos pontos

1.7. Interseção entre retas R1 e R2: R = R1 = R2 ⇒ t1 = ? t2 = ? ⇒ R = ?

1.8. Paralelismo entre retas: v1 = k.v2

1.9. Ângulo entre retas: cos ß = (v1.v2)/(|v1| .|v2| )

perpendicularismo: v1.v2 = 0 1.10. Projeção de um vetor u na direção de outro v: Pv(u) = u.v / |v|

1.11. Distância entre ponto e reta e entre retas:

11.a) Determina-se o vetor perpendicular w = [b,-a]

11.b) Equaciona-se a reta perpendicular Rp

11.c) Determina-se a interseção entre R e Rp

11.d) Calcula-se a distância entre pontos.

II - Vetores no Espaço - Retas - Planos

2.1. Vetor: v = [x,y,z]

módulo = |v| = [pic] direção = reta passando por O(0,0,0) e P(x,y,z) ou paralela sentido = de O para P

1.a) Soma / diferença: [a,b,c] +/- [x,y,z] = [a +/- x , b +/- y , c