Sistemas Lineares

Cap´tulo 3 ı Espacos Lineares
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A nocao de espaco linear reveste-se de importˆ ncia fundamental nos mais diversos
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¸ a ramos da matem´ tica, permitindo unificar o tratamento matem´ tico de estruturas a a distintas. Como veremos no final deste cap´tulo, a nocao abstracta de espaco linear ı ¸˜
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permite atribuir a mesma estrutura a conjuntos de vectores de Rn , a conjuntos de funcoes (tais como polin´ mios, funcoes exponenciais ou trigonom´ tricas), bem
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e como a conjuntos de matrizes.
Um espaco linear e um conjunto no qual est˜ o definidas duas operacoes: (i)
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´ a ¸˜ uma, sobre pares de elementos do conjunto (an´ loga a adicao de vectores de Rn ); a `
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(ii) outra, de escalares por elementos do conjunto (tal como a multiplicacao de
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um escalar real por um vector de Rn ). Se estas duas operacoes verificarem as
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propriedades enunciadas na p´ gina 29 para as operacoes de adicao de vectores de a Rn e de multiplicacao destes vectores por escalares reais, ent˜ o dizemos que o
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a conjunto e um espaco linear (ou espaco vectorial).
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Uma vez que nos espacos lineares R2 e R3 e poss´vel utilizar uma abordagem
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´ ı geom´ trica para ilustrar muitos dos conceitos fundamentais relativos a espacos e ¸ n lineares, adoptamos como estrat´ gia pedag´ gica o uso do espaco linear R como e o
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modelo. Assim, na Seccao 3.2 s˜ o apresentados os quatro subespacos fundamen¸˜ a ¸ tais de Rn (associados a uma matriz real), os quais s˜ o depois utilizados para a introduzir v´ rias nocoes como as de subespaco e dimens˜ o de um espaco linear. a ¸˜
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Estes conceitos s˜ o depois definidos e estudados para espacos lineares gerais. a ¸
As nocoes fundamentais de independˆ ncia linear, base e dimens˜ o de um
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e a espaco linear s˜ o estudadas na Seccao 3.3. Os resultados principais desta seccao,
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2
3 ilustrados com exemplos em R e R , apoiam-se em grande parte em resultados