Sistema 4 barras

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Introdução

Nosso trabalho visa demonstrar a análise cinemática de um mecanismo de quatro barras, demonstrando velocidades, acelerações e trajetórias pontuais, bem como os ângulos de pontos mortos. Demonstraremos algumas aplicações e tipos de mecanismos de quatro barras.

Descritivo Básico

Segundo Pivetta et al (2009), um mecanismo de quatro barras é um sistema mecânico composto deelementos articulados. O estudo de posição, velocidades e acelerações é realizado idealizado-se as barras de ligação com suas respectivas articulações, simplificando o sistema. As barras são consideradas corpos rígidos e as articulações são consideradas sem folgas ou interferências.


Figura 1: Exemplo mecanismo de quatro barras

Fundamentação Matemática

De acordo com Pivetta et al (2009), aanálise de velocidade e de aceleração de um ponto de interesse do mecanismo pode ser feita por vários métodos. Alguns deles tornam-se mais interessantes, dependendo do caso, mas possuem limitações. Dentre as alternativas tem-se os métodos gráficos, nos quais se usam os polígonos
das velocidades e das acelerações, empregando os conceitos de velocidade e de aceleração relativas. Outros métodos deanálise utilizam álgebra complexa, equações diferenciais, métodos vetoriais e matriciais etc.
Usando-se de uma abordagem geométrica, Uicker, Pennock & Shigley (2003) apresentaram equações para a determinação das posições do ponto de interesse P conforme ilustrado na Figura 2.

Figura 2: Esquema do mecanismo de quatro barras

Empregando o recurso geométrico pode-se definir uma barra imaginária Sde ligação entre os pontos A e O4, formando assim os dois triângulos O2AO4 e ABO4.
Conhecendo-se os comprimentos das barras R1, R2, R3, R4, R5, os ângulos de posição θ2 e α, e utilizando-se a lei dos cossenos, é possível determinar facilmente os valores de S, os ângulos θ3, θ4, β, ϒ, ϕ, e conseqüentemente as coordenadas dos pontos P e B, considerando-se a origem no ponto O2.
S = ( R1²+ R2²– 2 R1R2 cos q2 )1/2

β = cos-1 [ (R1² + S2 – R2² ) / ( 2 R1 S )]

ϕ = cos-1 [ (R3² + S2 – R4² ) / ( 2 R3 S )]

λ = cos-1 [ (R4² + S2 – R3² ) / ( 2 R4 S )]

ϒ = ± cos-1 [ (R3² + R4² - S2 ) / ( 2 R3 R4 )]

Os sinais “+” ou “-“ dos valores de ϒ serão os resultados, respectivamente, para configurações de mecanismo de 4 barras aberta ou fechada. Para os ângulos de posição da barra de entrada R2de 0 ≤ θ2 ≤ 180º os valores de θ3 e θ4 são determinados pelas expressões:

θ3 = ϕ3 - β

θ4 = 180º - ϒ- β

Para ângulos de posição da barra de entrada R2 de 180º ≤ θ2 ≤ 360º os valores de θ3 e θ4 são determinados pelas expressões:

θ3 = ϕ + β

θ4 = 180º - ϒ + β

O ponto O2 é a referência e as posições dos pontos A, B e P em relação a esta referência podem ser determinadas pelasexpressões:

xA = R2 cos θ2

yA = R2 sen θ2

xB = R2 cos θ2 + R3 cos θ3 = R1 + R4 cos θ4

yB = R2 sen θ2 + R3 sen θ3 = R4 sen θ4

xP = R2 cos θ2 + R5 cos ( θ3 + α)

yP = R2 sen θ2 + R5 sen ( θ3 + α)

Ao se aplicar uma mínima perturbação na barra de entrada R2, ou seja, uma mínima variação no ângulo de posição θ2 da barra de entrada, o deslocamento angular, e conseqüentemente omovimento do ponto A, durará um tempo mínimo Δt. Este tempo terá o mesmo valor para executar os deslocamentos dos pontos B e P, da posição inicial até a final. Quanto menor for o deslocamento angular de θ2, menor será o tempo Δt, o qual tenderá a zero, e então, as velocidades e as acelerações médias
tenderão ao valor das instantâneas.
Quando o valor de Δt for muito pequeno, as velocidades e asacelerações nas direções x e y, bem como as resultantes, terão valores muito precisos.

Para se determinar a velocidade e a aceleração médias do ponto P nas direções x e y neste intervalo pode-se utilizar as expressões:

vxPi = ( xPi - xPi-1 ) / Δt

vyPi = (yPi – yPi-1) / Δt

vPi = (vxPi 2 + vyPi²)1/2

axPi = (vxPi – vxPi-1) / Δt

ayPi = (vyPi – vyPi-1) / Δt

aPi = (axPi 2 + ayPi²)1/2...
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