series

Introdução :

O trabalho consistia em analisar o movimento descrito por uma bolinha ao ser liberada de certa altura h e que após cada choque perdia certa quantidade de energia (sua velocidade era reduzida a 2/3). Seguindo princípios básicos de física e de séries numéricas fomos capazes de analisar e resolver os problemas propostos.

Altura atingida apos cada choque:

Examinando os primeiros casos percebemos o seguinte :

Ou seja, após cada choque a bola sobe a uma altura menor que a atingida anteriormente. Vemos também que há uma razão entre essas alturas. Observando os casos anteriores Concluimos entao que a razao entre cada altura é ,

logo: , onde e a altura atingida apos o choque e

e a altura que a bola cai antes do choque.

Para o caso geral temos :

Para resolver esse problema nós usamos o princípio de 'conservação da energia do sistema'.

Tempo decorrido entre dois choques consecutivos:

- Analisando os Primeiros casos temos verficamos o seguinte:

Obs: Tempo de subida = Tempo de descida

(só para descer)

Após cada choque a velocidade se reduz a e o tempo e multiplicado por 2 devido a subida e a descida, então:

Logo, pela analise dos casos verificamos que o tempo entre os choques também segue uma razão. Concluímos a partir daí que o tempo entre choques é Tn =

Nós usamos nesse problema equações de queda livre (movimento acelerado).

Mostrar que a bola para após um tempo finito

Þ Para isso podemos mostrar que o tempo entre 2 choques tende a zero para choques distantes (ou seja , os últimos choques). Para isso analisamos o tempo entre o n-ésimo e o n+1-ésimo choque (n muito grande).

Temos que o tempo entre 2 choques é : é Tn =

Para n muito grande temos que o tempo é dado pelo ‘Limite’ a seguir:

Esse resultado já era esperado pois senão a bola ficaria saltando para sempre, o que observamos na prática ser impossível !.

Distância