Sadwadwawdada

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 8 (1820 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 8 de abril de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
104

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 10
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS

1 TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜ2
Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados
com origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origem
O1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um ponto
qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmoponto P terá coordenadas P(x1,y1),

x = x1 + h
em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que: 
, chamadas de
y = y1 + k
equações de translação no ℜ2.
Oy

Oy1

y

y1

k

O1

O

P(x,y)≡(x1,y1)

x1

Ox1

x

h

Ox

Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo
(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).

Exemplo (1): Determine ascoordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo
sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).
Solução:

Usando

as

equações

x1 = 5 − (−3) = 8
⇒ P(x1, y1) = (8,−5)

y1 = −3 − 2 = −5

de

translação,

x1 = x − h

y1 = y − k

teremos:

Oy 1
Oy
O1(-3,2)

k=2
8

h=-3
-5

O
-3

Ox 1

5

Ox

P(5,-3)≡(8,-5)



105

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 2x2 +3y2 − 8x + 6y − 7 = 0 ,
depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).

x = x1 + h
x = x1 + 2
Solução: Fazendo: 
⇒
na equação da elipse, teremos:
y = y1 + k

y = y1 − 1
2(x1 + 2)2 + 3(y1 − 1)2 − 8(x1 + 2) + 6(y1 − 1) − 7 = 0



2
2
2x1 + 3y1 − 18 = 0



2
2
x2 y2
2x1 3y1 18
+
=
⇒ 1 + 1 = 1 . Note que, a equação reduzida da elipse, antes da
9
6
18
18
18

translação era

(x −2)2 (y + 1)2
+
= 1 , cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi feita
9
6

uma translação para o centro da elipse.
Oy

Oy 1

-1

2

5

x
-1

C

Ox

Ox 1

OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de uma
cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a
nova origem O1(h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3).

Exemplo(3): Determine a translação de eixos que transforme a equação da
hipérbole 3x2 − 4y2 + 6x + 24y − 135 = 0 , na sua forma mais simples (sem os termos
de primeiro grau).
Solução (1): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro da
hipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 3(x + 1)2 − 4(y − 3)2 = 102 ⇒

(x + 1)2 (y − 3)2
+
= 1 . Logo, o centro é C(-1,3) que será a novaorigem O1(h,k).
34
− 51
2

x = x1 − 1
Fazendo 
na equação geral, segue que:
y = y1 + 3
2
2
3(x1 − 1)2 − 4(y1 + 3)2 + 6(x1 − 1) + 24(y1 + 3) − 135 = 0 ⇒ 3x1 − 4y1 = 102 .

Solução (2): Caso não soubéssemos da observação acima, outra forma de descobrir
qual a translação para eliminar os termos de primeiro grau, seria aplicar as equações
de translação na equação dada e impor as condições para queos coeficientes dos
termos de primeiro grau sejam nulos.

106

x = x1 + h
Sabemos que: 
. Substituindo na equação 3x2 − 4y2 + 6x + 24y − 135 = 0 ,
y = y1 + k

teremos:

3(x1 + h)2 − 4(y1 + k)2 + 6(x1 + h) + 24(y1 + k) − 135 = 0 .

Desenvolvendo

2
2
3x1 − 4y1 + (6h + 6)x1 − (8k − 24)y1 + (3h2 − 4k2 + 6h + 24k − 135) = 0 .

Impondo

as

condições para que os coeficientes dos termos de primeirograu sejam nulos:

6h + 6 = 0 ⇒ h = −1
. Portanto, a translação dever ser feita para a nova origem

8k − 24 = 0 ⇒ k = 3

O1(h, k) = (−1,3) .

2 ROTAÇÃO DE EIXOS NO ℜ2
Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados
com origem O(0,0). Sejam Ox1 e Oy1 os novos eixos coordenados depois que o
sistema primitivo foi rotacionado de um ângulo θ em torno da origem O(0,0).Logo, θ
é o ângulo formado entre os eixos Ox e Ox1. Seja P(x,y) um ponto qualquer do
sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1), em relação
ao novo sistema.
Oy
P(x,y)≡(x1,y1)

y

Oy 1

θ

y1

Ox1
R
x1

Q
S

θ
O

N
x

M
Ox

x = OM − NM

Pela figura acima temos: 
.
y = NQ + QP

No

triângulo

NQ = x1senθ .

cos θ =

OMR:

No

cos θ =

triângulo

QP
⇒ QP = y1 cos θ ....
tracking img