Runge kutta

1.0 Metódo Runge Kutta

O método de Runge-Kutta é baseado na idéia de estimar valores intermediários dentro do intervalo existente entre dois passos subseqüentes, usando estas estimativas para melhorar a precisão da solução numérica entre os passo atual e o seguinte. Existem diferentes versões do método de RungeKutta que são divididas de acordo com a ordem de precisão numérica, sendo o método do ponto intermediário equivalente ao método de Runge-Kutta de segunda ordem. A versão mais utilizada do método de Runge-Kutta é a de quarta ordem, que embora demande muitos cálculos, possui uma precisão numérica de quarta ordem. Este método pode ser descrito pelo seguinte procedimento:

Desta forma, o método de Runge-Kutta de quarta ordem consiste no cálculo de quatro valores intermediários, que são os produtos entre o comprimento de passo h por valores da derivada y 0 (t) em diferentes pontos, para então calcular a solução da função yn+1 com base em uma média ponderada destes valores. Nota-se que o método do ponto intermediário calcula os mesmos fatores k1 e k2 para encontrar a solução da função na equação 3.46, entretanto no método de Runge-Kutta de quarta ordem existem mais dois fatores, k3 e k4, que são encontrados de acordo com uma seqüência de dependência entre eles. O gráfico da figura 3.6 ilustra o processo de aproximação deste método.

Os métodos de Runge-Kutta são muito utilizados, principalmente porque podem ser expressos por uma seqüência de fórmulas explícitas; sua implementação em computadores também é extremamente simples. Estes métodos utilizam o valor da função no ponto médio do intervalo (t+h/2).
Outro atrativo dos métodos de Runge-Kutta é a fácil aplicação a sistemas de EDOs. Para um sistema de duas equações, dx/dt = F(t, x, y) e dy/dt = G(t, x,