Runge kutta

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1.0 Metódo Runge Kutta


O método de Runge-Kutta é baseado na idéia de estimar valores intermediários dentro do intervalo existente entre dois passos subseqüentes, usando estasestimativas para melhorar a precisão da solução numérica entre os passo atual e o seguinte. Existem diferentes versões do método de RungeKutta que são divididas de acordo com aordem de precisão numérica, sendo o método do ponto intermediário equivalente ao método de Runge-Kutta de segunda ordem. A versão mais utilizada do método de Runge-Kutta é a de quartaordem, que embora demande muitos cálculos, possui uma precisão numérica de quarta ordem. Este método pode ser descrito pelo seguinte procedimento:




Desta forma, o método deRunge-Kutta de quarta ordem consiste no cálculo de quatro valores intermediários, que são os produtos entre o comprimento de passo h por valores da derivada y 0 (t) em diferentespontos, para então calcular a solução da função yn+1 com base em uma média ponderada destes valores. Nota-se que o método do ponto intermediário calcula os mesmos fatores k1 e k2 paraencontrar a solução da função na equação 3.46, entretanto no método de Runge-Kutta de quarta ordem existem mais dois fatores, k3 e k4, que são encontrados de acordo com umaseqüência de dependência entre eles. O gráfico da figura 3.6 ilustra o processo de aproximação deste método.


Os métodos de Runge-Kutta são muito utilizados, principalmente porque podem serexpressos por uma seqüência de fórmulas explícitas; sua implementação em computadores também é extremamente simples. Estes métodos utilizam o valor da função no ponto médio dointervalo (t+h/2).
Outro atrativo dos métodos de Runge-Kutta é a fácil aplicação a sistemas de EDOs. Para um sistema de duas equações, dx/dt = F(t, x, y) e dy/dt = G(t, x, y).
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