Rieman

A hipótese de Riemann — 150 anos

Em 1859, Bernhard Riemann, então com 32 anos, foi eleito para a Academia das Ciências de Berlim. Fazia então parte do regulamento daquela instituição que os novos membros deviam fazer um relatório sobre a pesquisa que estavam a fazer. O relatório entregue por Riemann era curto (foi publicado em oito páginas) e tinha por título Sobre o número de números primos que não excedem uma grandeza dada. É aqui que surge a hipótese de Riemann, que é talvez o mais famoso problema em aberto da Matemática.

ζ(n)
Para compreender o problema, convém recuar a 1650, ano em que foi publicado o livro Novæ quadraturæ arithmeticæ seu se additione fractionum, de Pietro
Mengoli. É um livro sobre soma de séries, duas das quais são ζ (1) = 1 +

1
2

+

1
3

+

1
4

+ ···

e ζ (2) = 1 +

1
2

2

+

1
3

2

+

1
42

+ ···

É aí demonstrado que a primeira (a série harmónica) diverge e o autor levanta o problema de saber qual é a soma da segunda. Este problema foi novamente levantado por Jacob Bernoulli em 1689.1 Três anos mais tarde, o mesmo Jacob
Bernoulli começa a estudar as séries ζ (n) = 1 + para cada n ∈

1
2

n

+

1
3

n

+

1
4n

+ ···

(1)

\ {1}.

1

O texto em questão foi publicado em Basileia, o que deu origem a designar-se por «problema de Basileia» o problema de determinar o valor de ζ (2).

1

Em 1735, Euler provou que ζ (2) = π2/6 e, pouco tempo depois, calculou ζ (n) para cada número natural par n, para além de ter obtido o produto euleriano ζ (n) =

−1

1 − p −n

,

(2)

p primo

o qual é válido para cada número real n > 1. Isto mostra que há uma relação entre a função ζ e a distribuição dos números primos. Não é a única ligação da função ζ à Teoria dos Números. Por exemplo, se s > 1, então d (n)

∞

ζ (s)2 =

ns

n=1

,

onde d (n) é o número de divisores de n. Além disso, se s > 2, então σ(n) ∞

ζ (s )ζ (s − 1) =