Reticulados

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CURSO: Licenciatura em Ciências da Computação – EAD
Disciplina: Matemática Discreta – LC02 – MD
Professor: Ricardo Freitas
Semestre: 2011.2

LISTA DE EXERCICIOS 2

PARTE 1

Questão 1: Seja A um conjunto qualquer. A operação união U: P(A) x P(A) → P(A) P( A) é uma operação binária? É interna? É fechada? Justifique suas conclusões. Lembre-se que P( A) denota o conjunto das partes de A .Resposta:
Operação binária = operação cujo domínio é um conjunto resultante de um produto cartesiano
Produto cartesiano = Dados dois conjuntos A e B é o par (x, y) de forma que x A e y B. Logo U: P(A) x P(A) → P(A) é uma operação binária.
Operação interna = são operações cujos domínio e contradomínio são definidos sobre um mesmo conjunto.
A operação U: P(A) x P(A) → P(A) está definida dentrodo conjunto das partes de A, ou seja, o domínio e o contradomínio pertencem a P(A)
Operação fechada é uma operação total, ou seja, é uma função.
Questão 2: Seja∑um alfabeto não vazio. Considere a operação de concatenação em ∑(conjunto de todas as palavras sobre o alfabeto ∑) dada por conc : ∑∑∑.
Assim, conc é uma operação binária e interna sobre ∑, ou seja, uma álgebra interna quepode ser denotada por (∑,conc) . Verifique se essa álgebra interna é grupóide, semigrupo, monóide, grupo ou álgebra comutativa, justificando suas conclusões.
Resposta:
É um grupóide, pois é uma operação binária onde tem um conjunto e uma operação〈(∑,conc) 〉, é interna ∑∑∑qualquer que seja o resultado da operação ele ∑e é fechada é uma função onde todo elemento de ∑ possui umcorrespondente único em ∑ e esse correspondente também ∑∑
Questão 3: Para cada álgebra interna definida abaixo, verifique se são grupóides, semigrupos, monóides, grupo ou álgebra comutativa, justificando suas conclusões e indicando o elemento neutro e o tipo de elemento inverso, se for o caso. Os símbolos, ,,e / representam, respectivamente as operações de adição, subtração,multiplicação e divisão sobre os conjuntos considerados.
a) 〈PA,〉Pela simbologia é uma operação binária, pois está definido um conjunto e uma operação.
A operação é interna porque está definida dentro do próprio conjunto das partes do P(A).
A operação é fechada porque qualquer que seja o resultado ele pertencerá a P(A).
Atende à propriedade associativa, pois (a P(A)) (b P(A)) (c P(A)) (a ∩ (b ∩c) = (a ∩ b ) ∩ c
Atende à propriedade de elemento neutro, porque existe ( e P(A)) (a P(A)) (a ∩ e = e ∩ a = a) a ∩ A = A ∩ a = a
Não atende á propriedade do elemento inverso, pois (a P(A)) ( a P(A)) (a ∩ a = a ∩ a = e). O número não tem nada em comum com seu oposto. O conjunto P(A) é um monóide comutativo.
b) 〈 Z, 〉
Pela simbologia é uma operação binária, pois estádefinido um conjunto e uma operação.
A operação é interna porque está definida dentro do próprio conjunto das partes dos números Z.
A operação é fechada porque qualquer que seja o resultado ele pertencerá a Z.
Atende à propriedade associativa, pois (a Z) (b Z) (c Z) (a (b c) = (a b ) c

Atende à propriedade de elemento neutro, porque existe ( e Z) (a Z) (a e = e a = a)

Atende ápropriedade do elemento inverso, pois existe (a Z)) ( a Z) (a a = a a = e).
〈 Z, 〉é um grupo porque atende a todas as propriedades

c) 〈R, 〉
Pela simbologia é uma operação binária, pois está definido um conjunto e uma operação.
A operação é interna porque está definida dentro do próprio conjunto das partes dos números R.
A operação é fechada porque qualquer queseja o resultado ele pertencerá a R.
Atende à propriedade associativa, pois (a R) (b R) (c R) (a + (b + c) = (a + b ) + c

Atende à propriedade de elemento neutro, porque existe (e R)) (a R) (a + e = e + a = a)

Atende á propriedade do elemento inverso, pois existe (a R)) ( a R) (a + a = a + a = e).
〈R, 〉é um grupo porque atende a todas as propriedades

d) 〈 R 0,〉...
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