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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 4 – Variáveis Aleatórias Unidimensionais. Exemplo 4.9. Ao operar determinada máquina, existe alguma probabilidade de que o operador da máquina cometa um erro. Pode-se admitir, razoavelmente, que o operador aprenda, no sentido de que decresça a probabilidade de cometer um erro, se ele usar repetidamente a máquina. Suponha queo operador faça n tentativas e que as repetições sejam estatisticamente independentes. Suponhamos, especificamente, que . Admitamos que se pretendam 4 tentativas (isto é, )e definamos a variável aleatória como o número de operações da máquina, executadas sem erro. Note-se que X não tem distribuição binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é constante. Para calcular a probabilidade de que, por exemplo, procede-se do seguinte modo: se, e somente se, houver exatamente uma tentativa mal sucedida. Isto pode ocorrer na primeira, segunda, terceira ou quarta tentativas. Portanto,
Exemplo 4.10. Considere-se uma situação semelhante àquela apresentada no Ex. 4.9. Agora, admitiremos que exista uma probabilidade constante de não cometer um erro na máquina, durante cada uma das tentativas,e uma probabilidade constante de não cometer um erro em cada uma das repetições subsequentes. Seja o número de operações bem sucedidas da máquina durante as tentativas independentes. Vamos procurar a expressão geral de . Pelo mesmo motivo dado no exemplo precedente, não tem distribuição binomiaI. Para obter , procede-se da seguinte maneira: Sejam o número de operações corretas durante asprimeiras tentativas, e o número de operações corretas durante as tentativas subsequentes. Portanto, e são variáveis aleatórias independentes e . Assim, se, e somente se, e , para qualquer inteiro que satisfaça às condições e . As restrições acima, sobre , são equivalentes a as, poderemos escrever e . maneiras distintas, . Combinando-
Se no primeiro evento ocorrerem sucessos que podem ocorrer de entãono segundo teremos que teremos maneiras distintas. Para cada um dos dois eventos
, sucessos que podem ocorrer de tem distribuição binomial. Então,
Pelo princípio multiplicativo e aditivo. Temos,
Ou
Problemas 1. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara(F) três vezes mais frequentemente que coroa(V). Essa moeda é jogada três vezes. Seja o número de caras que aparece. Estabeleçaa distribuição de probabilidade de e também a fd. Faça um esboço do gráfico de ambas.
2. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de , quando: a. As peças forem escolhidas com reposição.
b. As peças forem escolhidas sem reposição. Trata-se de calcular umaprobabilidade hipergeométrica, como explicado na seção 2.3. Seja:
Pelo princípio da multiplicação temos:
3. Suponha que a variável aleatória . a. Calcule .
tenha os valores possíveis
.e
Trata-se da soma de
temos de uma PG, com
b. Calcule
.
c. Calcule
.
4. Considere uma variável aleatória a. Para que valores de
com resultados possíveis:
Suponha que
o modeloacima tem sentido?
{
De (A) e (B), temos que:
b. Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade.
c. Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos e .
5. Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto somentecerca de 2% de defeituosas produz a máquina 2. Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de que essa amostra contenha 2 peças defeituosas? Seja:
6. Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido. Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é...
Exemplo 4.10. Considere-se uma situação semelhante àquela apresentada no Ex. 4.9. Agora, admitiremos que exista uma probabilidade constante de não cometer um erro na máquina, durante cada uma das tentativas,e uma probabilidade constante de não cometer um erro em cada uma das repetições subsequentes. Seja o número de operações bem sucedidas da máquina durante as tentativas independentes. Vamos procurar a expressão geral de . Pelo mesmo motivo dado no exemplo precedente, não tem distribuição binomiaI. Para obter , procede-se da seguinte maneira: Sejam o número de operações corretas durante asprimeiras tentativas, e o número de operações corretas durante as tentativas subsequentes. Portanto, e são variáveis aleatórias independentes e . Assim, se, e somente se, e , para qualquer inteiro que satisfaça às condições e . As restrições acima, sobre , são equivalentes a as, poderemos escrever e . maneiras distintas, . Combinando-
Se no primeiro evento ocorrerem sucessos que podem ocorrer de entãono segundo teremos que teremos maneiras distintas. Para cada um dos dois eventos
, sucessos que podem ocorrer de tem distribuição binomial. Então,
Pelo princípio multiplicativo e aditivo. Temos,
Ou
Problemas 1. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara(F) três vezes mais frequentemente que coroa(V). Essa moeda é jogada três vezes. Seja o número de caras que aparece. Estabeleçaa distribuição de probabilidade de e também a fd. Faça um esboço do gráfico de ambas.
2. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de , quando: a. As peças forem escolhidas com reposição.
b. As peças forem escolhidas sem reposição. Trata-se de calcular umaprobabilidade hipergeométrica, como explicado na seção 2.3. Seja:
Pelo princípio da multiplicação temos:
3. Suponha que a variável aleatória . a. Calcule .
tenha os valores possíveis
.e
Trata-se da soma de
temos de uma PG, com
b. Calcule
.
c. Calcule
.
4. Considere uma variável aleatória a. Para que valores de
com resultados possíveis:
Suponha que
o modeloacima tem sentido?
{
De (A) e (B), temos que:
b. Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade.
c. Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos e .
5. Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto somentecerca de 2% de defeituosas produz a máquina 2. Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de que essa amostra contenha 2 peças defeituosas? Seja:
6. Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido. Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é...
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