Resolu O Da Equa O De Laplace

Universidade Federal de Santa Catarina
Disciplina: ECV5104
Professora: Patricia de Oliveira Faria
Turma: 06201D
Semestre: 2015.1
Aluno: Vinícius Daniel de Souza
Matrícula: 13100824

Resolução Matemática da Equação de Laplace
Vamos escrever a equação de Laplace (V = 0) em coordenadas retangulares, para o caso bidimensional:

(1)
Vamos resolver a equação (1) utilizando o método da separação de variáveis, onde assumimos que V pode ser expresso como o produto de duas funções X e Y . Ou:

VXY (1.1) onde: X é função de x, apenas; Y é função de y, apenas;

Substituindo 1.1 em 1, nós temos: (1.2)
Dividindo 1.2 por XY, teremos: (1.3) Desde que a soma dos três termos é uma constante, e cada variável é independente, cada termo deve ser igual a uma constante. Então, podemos escrever: (1.4)
Ou:
(1.5)
E, similarmente: (1.6) Y (1.7)
O problema agora consiste em achar a solução para cada variável separadamente.
A solução para a equação 1.5 é: X = C1ea1x + C2e-a1x (1.8)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, que devem ser calculadas a partir das condições de contorno.
De maneira semelhante: Y = C3ea1jy + C4e-a1jy (1.9)
A solução geral da equação 1 é: V =