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Exerc´cios resolvidos de ı ´ Algebra Linear e Geometria Anal´tica ı
Rui Albuquerque rpa@dmat.uevora.pt ´ Departamento de Matem´tica da Universidade de Evora a ´ Rua Rom˜o Ramalho, 59, 7000-671 Evora, Portugal a 10 de Maio de 2009

— Primeira vers˜o — a

´ Albuquerque, Exerc´ ıcios de Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica

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Breve explica¸˜o da origem destes exerc´ ca ıcios
´ Aquelesque leiam o nosso “Prontu´rio de Algebra Linear e Geometria Anal´ a ıtica”, texto escrito para o curso de alga das licenciaturas em ramos da Engenharia e da F´ ısica ´ da Universidade de Evora do ano lectivo 2008/09, com maior dificuldade e n˜o possam a assistir a aulas, encontrar˜o no presente um conjunto de exerc´ a ıcios complementares ` a teoria. Mostramos aqui os enunciados que se fizeram paraos v´rios momentos de avalia¸˜o a ca do curso. Acrescidos de um grupo de problemas dados numa aula te´rico-pr´tica, o o a conjunto resulta em bastante mais do que o que se pode dar num semestre de aulas pr´ticas. Apresentamos ainda a resolu¸˜o de todos os exerc´ a ca ıcios. Note-se que este texto n˜o ´ suficiente em problemas de c´lculo linear, nomeadaa e a mente resolu¸˜o de sistemas de equa¸˜es,pr´tica do m´todo de Gauss ou condensa¸˜o, ca co a e ca c´lculo de determinantes e invers˜o de matrizes — essenciais para a consolida¸˜o do a a ca estudo. Necessitamos por vezes de fazer referˆncia ao “Prontu´rio de ALGA”, edi¸˜o de e a ca 14 de Mar¸o de 2009, a ultima que se disponibilizou ao p´blico e que se encontra em c ´ u http://home.uevora.pt/∼rpa/ . Sobre esses apontamentos, confiamos quese mostre positiva aquela escrita r´pida — n˜o menos cuidada —, assim tanto quanto se possa a a beneficiar o estudo urgente de um instrumento da matem´tica fundamental como a a ´lgebra linear. a Recordemos que o conhecimento te´rico ´ o esteio de toda a forma¸˜o cient´ o e ca ıficot´cnica de base. Sempre a ser conferido pela pr´tica. e a

Rui Albuquerque Lisboa, 10 de Maio de 2009

´Albuquerque, Exerc´ ıcios de Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica

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´ Departamento de Matem´tica da Universidade de Evora a

´ Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica
27 de Outubro de 2008, 1a turma Cursos de Ciˆncias Ter. Atm., Eng. Civil, Eng. En. R., Eng. Geol., Eng. Inf. e e Eng. Mecat. 1. Seja (A, +, ·) um anel. Mostre primeiro que 0+0 = 0 e depois que a·0 = 0, ∀a ∈ A. 2. Suponha que A, B ∈Mn,n s˜o matrizes invert´ a ıveis. Mostre que AB ´ invert´ e ıvel. 3. Resolva o sistema   2u + v + x − z = 0    3u + 2v − x − z = 0  2u + x − 2z = u    3x − v − 2z = 0

1o Teste de

(1)

pelo m´todo da matriz ampliada. Diga qual ´ a matriz do sistema, a sua carace e ter´ ıstica, a caracter´ ıstica da matriz ampliada e o grau de indetermina¸˜o. ca Descreva o conjunto de solu¸˜es, seexistir, na forma mais simples que consiga. co [ ] a b 4. Diga qual a condi¸˜o para a matriz ca ter caracter´ ıstica 1. Pode supˆr o c d desde j´ a = 0. a 5. Escreva a condi¸˜o sobre uma matriz 2 × 2 para que seja complexa, isto ´, ca e [ ][ ] [ ][ ] x y 0 1 0 1 x y = . z w −1 0 −1 0 z w

´ Albuquerque, Exerc´ ıcios de Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica

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´ Departamento de Matem´tica daUniversidade de Evora a

´ Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica
29 de Outubro de 2008, 2a turma Cursos de Ciˆncias Ter. Atm., Eng. Civil, Eng. En. R., Eng. Geol., Eng. Inf. e e Eng. Mecat. 1. Seja (G, ·) um grupo. i) Suponha que G tem dois elementos neutros e, e . Mostre que ent˜o e = e . a ii) Suponha que g e g s˜o dois inversos do mesmo elemento g ∈ G. Mostre a que g = g . 2. Considere umamatriz diagonal D e  d1 0 0  0 d2  D= ...  0 ambas de ordem n. i) Calcule DA. ii) Mostre que D tem inversa sse di = 0, ∀1 ≤ i ≤ n. Calcule a inversa. 3. Resolva o sistema   x − y + 2u + v = 0    3u + 2v − x − y = 0  2u + x = 2y + u    3x = v + 2y outra matriz quadrada A qualquer,    a11 a12 a1n   a21 a22     A=   ...    dn an1 ann

1o Teste de

(2)

pelo...
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