Relação e Função

Capítulo 1

Relações e Funções
1.1 Denições Preliminares
Denição 1 (Produto Cartesiano) Dados os conjuntos A e B , o produto cartesiano de A por B , denotado A × B (lê-se: A cartesiano B ), é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B , isto é
A × B = (a, b) | ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B
Exemplo 1.1 Dados os conjuntos A = 1, 3, 5 e B = 2, 3 , temos
A×B =

(1, 2); (1, 3); (3, 2); (3, 3); (5, 2); (5, 3)

B×A =

(2, 1); (2, 3); (2, 5); (3, 1); (3, 3); (3, 5)

2

=

(1, 1); (1, 3); (1, 5); (3, 1); (3, 3); (3, 5); (5, 1); (5, 3); (5, 5)

2

=

(2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)

A×A=A
B×B =B

Denição 2 (Relação) Dados os conjuntos A e B , uma relação R de A em B , denotada R : A → B
(lê-se: R de A em B ), é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B
Exemplo 1.2 Dados os conjuntos A = 1, 3, 5, 7 e B = 3, 9, 15, 20 , a relação R : A → B , tal que
R = (a, b) | b = 3a ,

é dada explicitamente pelos pares ordenados R = (1, 3); (3, 9); (5, 15) . Uma outra maneira de se representar uma relação é através do diagrama de Venn (Figura 1.1).
1

- 3

3

- 9

5

- 15

A

B

Figura 1.1: Representação de uma relação por diagrama de Venn.

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Domínio e Imagem de uma Relação
O domínio de uma relação R, denotado D(R), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado da relação. No Exemplo 1.2 o domínio é o conjunto D(R) = 1, 3, 5 .
A imagem de uma relação R, denotada I(R), é o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação. No Exemplo 1.2 a imagem é o conjunto D(R) = 3, 9, 15 .

Denição 3 (Função) Dados os conjuntos A e B , uma função f de A em B , denotada f : A → B
(lê-se: f de A em B ), é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B .
Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma função
Em uma função f : A → B o domínio é o conjunto A e o contra-domínio é o conjunto B . A imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos