Relatorio de medição

Exercícios resolvidos
1. Um paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD tem volume igual a 9 unidades. Sabendo-se que A(1,1,1), B( 2,1,2), C(1,2,2), o vértice E → r pertence à reta r de equação r : x = − y = 2 − z e ( AE, i ) é agudo. Determine as coordenadas do vértice E. Solução:
→

Como E pertence à reta r, temos E( t ,−t , 2 − t ) e AE = ( t − 1,−1− t , 1 − t ) . Assim, 1 0 1 → → → | [ AB, AC, AE ] | = | 0 1 1 | =|3− t | = 9. t −1 − t −1 1− t Logo t = −6 ou t = 12 . → → r → r Se t = −6, então AE = ( −7, 5,7) e AE ⋅ i = −7. Logo ( AE, i ) é obtuso. Como este valor de t contradiz uma das hipóteses do nosso exercício, → → r consideremos t = 12. Neste caso, AE = (11,−13,−11) e AE ⋅ i = 11 → r → assim, ( AE, i ) é agudo. Portanto E = A + AE = (12,−12,−10). 2. Um quadrado ABCD está sobre o plano α : x − y + 2z −1 = 0 . Sabendose que A(1,0,0) e B(0,1,1) são vértices consecutivos. Determine as coordenadas dos outros dois vértices. Solução: r nα
→

C D

B A α

De A(1,0,0) e B(0,1,1) temos AB = ( −1,1,1) e r de α : x − y + 2z = 1 temos n α = (1, −1,2) . r Como AD ⊥ AB e AD ⊥ n α temos:
→ → r AD // AB× n α = (3,3,0) . → → →

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Além disso, | AD | = | AB | = 3 . Considerando AD ° = ( temos:

→

→

→

→  6 → 2+ 6 6  6   AD =  , ,0, D = A + AD =   2 2   2 , 2 ,0  e     →  6 6+2   C = B + AD =   2 , 2 ,1 .   → 1 1 Podemos observar que considerando AD ° = ( − ,− ,0) 2 2 encontraremos a outra solução do exercício.

1 1 , ,0) 2 2

3. Determine uma equação do plano π que passa pelo ponto P(1,0,1) e x − y + z + 1 = 0 contém a reta de equação r :  . 2x + y − z + 2 = 0  π r Solução: r Sejam R ( −1,0,0) um ponto da reta r e o vetor r v r = (1,1,0) //(0 ,3,3) = (1,−1,1) × ( 2,1,−1) . Como vr R

P

→ r o ponto P(1,0,1) não pertence à reta r, temos RP = ( 2,0,1) e v r são vetores LI com representantes em π. Assim, uma equação vetorial do plano π é: π : ( x, y, z) = (1,0,1) + t (2,0,1) + h (0,1,1) ; t, h ∈ IR

4. Determine uma