relativismo e particulas elementares

1. Exercicios
1) Considere a seguinte cˆnica: o (X − 2)2 (Y + 3)2
+
=1
16
4
Expandindo a equa¸˜o acima teremos ca X 2 + 4Y 2 − 4X + 24Y = −24
Vamos agora fazer uma mudan¸a de coordenadas do sistema (X, Y ) para o novo sistema (x, y), c √
1
tal mudan¸a ser´ uma rota¸˜o tal que sen(α) = 2 e cos(α) = 23 . Sabemos que tal mudan¸a c a ca c de coordenadas ´ dada pelas seguintes express˜es: e o
X = cos(α)x + sen(α)y e Y = cos(α)y − sen(α)x logo, √
3x + y
3y − x
, Y =
.
X=
2
2
Substituindo essas express˜es na equa¸˜o da cˆnica teremos o ca o √
√
√
(1.1)
7x2 − 6 3xy + 13y 2 − 8(6 + 3)x + 8(−1 + 6 3)y + 96 = 0
√

e identificamos os termos
A = 7

√
B = −6 3
C = 13 e temos uma cˆnica que n˜o est´ na forma reduzida. Vamos agora coloca-la em tal forma. o a a Para tanto devemos eliminar o termo cruzado e sabemos que para fazer isso devemos fazer uma rota¸ao de um angulo α tal que c˜ (Ct − A)2 + Bt2
B
(Lembre que podemos tomar o angulo α de forma que a formula acima seja positiva). Assim
1
subsituindo os termos A, B e C na formula acima obtemos tan(α) = √3 (valor positivo). tan(α) =

Portanto, sen(α) = 1 e cos(α) =
2
do angulo α s˜o dadas por: a C −A±

√

3
.
2

As rela¸˜es de mudan¸a de vari´veis dadas pela rota¸ao co c a c˜

x = cos(α)X − sen(α)Y e y = cos(α)Y + sen(α)X, ou seja,

√

√
3X − Y
3Y + X x= , y=
.
2
2
Substituindo esses valores na equa¸ao (1.1) voltamos a equa¸ao X 2 + 4Y 2 − 4X + 24Y = −24, c˜ c˜ a qual podemos manipular completando quadrados e obtermos novamente
(X − 2)2 (Y + 3)2
+
=1
16
4

2

que ´ a equa¸˜o de uma el´ e ca ıpse centrada no ponto (2, −3) (em coordenadas (X, Y )). Observe que se subtrairmos 1 da equa¸˜o acima obtemos um ponto, j´ que a unica forma de termos a ca a
´
soma de quadrados igual a zero ´ se cada um dos termos dessa soma for igual a zero. O grafico e da cˆnica segue o y
Y
Y

10

X

5

x
10

5

5

10