Relat Rio 1 Concluido

Relatorio 1 - Conceitos e Principios Gerais de Cáculo Numérico

Neste relatório relembraremos alguns conceitos básicos de algebra linear. O primeiro é o conjunto dos vetores da geometria, definidos atraves de segmentos orientados; o segundo é o conjunto das matrizes reais mxm. A primeira vista, pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum, mais não é bem assim.

No conjunto dos vetores está definida uma operação de adição notada das propriedades comutativa, associativa, além da existencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto. Além disso pode –se multiplicar o vetor por um numero real. Essa multiplicação tem as seguintes propriedades:

a) α (u + ʋ) = αu + αʋ
b) (α + β) u = αu + βu
c) (αβ) u = (αβu)
d) 1.u = u

Onde u, v são vetores e α, β são escalares quaisquer.

Espaço Vetorial

Seja E um conjunto e K um corpo. Vamos supor que E estaja definida uma operação de adição:

(x,y) € E x E → x + y € E

E que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicação por escalar ) :

(α, x) € K x E → αx € E

Um K espaço vetorial tem dimenção n se:

a) existe n vetores linearmente independentes;
b) (n + 1) vetores são sempre linearmente dependentes

Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é chamado base de um k espaço vetorial de dimenção n.

Espaço Vetorial Euclidiano

Seja E um espaço vetorial real. Sejam x,y elementos de E. Chama – se produto escalar (ou produto interno) de x por y – em simbolo, (x,y) – qualquer função definida em E x E com valores em IR

Um espaço vetoreal real E onde está definido um produto escalar é chamado espaço vetorial euclidiano.

Espaço Vetorial Normado

Chama – se norma de um vetor x – em simbolo, ‖x‖ - qualquer função definida no espaço vetorial E, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

N1) ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖ = 0 se, e somente se, x = 0 (vetor nulo),

N2) ‖ʎx‖ = ׀ʎ/ ‖x‖ para toda escalar ʎ,

N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (desigualdade triangular).

Um espaço