Raiz

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Aula1: Métodos para extrair a raiz quadrada de qualquer número positivo.

Vamos estudar aqui algumas formas de calcular a raiz quadrada de um número positivo qualquer. É possível calcular a raiz quadrada de números negativos também, porém isto é outro assunto. Teríamos que ampliar nosso conjunto de números para os complexos.
Antes de entrar no primeiro método, queria colocaraqui qual a razão prática de tal conhecimento. Em primeiro lugar poderá ser útil para os alunos , mesmo aqueles que não seguirão numa área científica, que prestarão testes vestibulares ou concursos públicos nos quais não são permitidos o uso de calculadoras. Em segundo lugar, penso ser importante saber qual o significado da raiz quadrada, mesmo que isto não tenha qualquer importância prática no diaa dia. Outro motivo é mais óbvio, pois para aqueles que seguirão áreas científicas e ou engenharias , tal saber é imprescindível.
O primeiro método que abordarei é o de fatoração. Dado um número, decompô-lo em fatores primos. Como exemplo, vamos calcular a raiz de 2025. Começa-se então do primeiro primo divisível: 3. (Divisível significa dividir sem deixar resto).2025|3|
675||





e assim , dividi-se por 3 , se o resultado continuar sendo divisível, repete-se o processo até não ser mais possível. A próxima divisão resulta em:


2025 |3|
675|3|
225|3|
75|3|
25||

agora a divisão já não épossível sem deixar resto. O próximo primo é o 5, então nossa conta fica assim:


2025 |3|
675|3|
225|3|
75|3|
25|5|
5|5|
1||
||



aí, conta-se quantas vezes apareceu o fator primo 3 e quantas vezes o 5. O resultado da nossa fatoração é o seguinte:2025 = 3x3x3x3x5x5 = 34 x 52


Agora fica fácil calcular a raiz quadrada do número, aplicando-se as propriedades da radiciação:

= = 32 x 5 = 45

note que 45 = 20+25 será este o único caso?


Outro exemplo, digamos : . Aplicando-se o mesmo processo, temos oprimeiro primo divisível o 2 :



15876|2|
7938|2|
3969|3|
1323|3|
441|3|
147|3|
49|7|
7|7|
1||

Escrevendo 15876 em seus fatores primos , fica assim:

15876 = 2x2x3x3x3x3x7x7 = 22.34.72

Das propriedades da radiciação vem :

= = 2.32.7 = 126



Mas digamos que se peça para calcular a raiz quadrada de um número impossível de ser decomposto emfatores primos. Por exemplo , o próprio número primo. O 23 é primo, pois somente é divisível por ele mesmo e pela unidade. Neste caso precisamos de outro método. Eu chamo de método por aproximação. Dizem que os babilônios já conheciam esta conta! Consiste em aplicar o quadrado perfeito mais perto de 23 na seguinte série:



Os quadrados perfeitos são aqueles números inteiros positivos cuja raizquadrada também é um inteiro. Assim os primeiros quadrados perfeitos são:

12 , 22 ,32 , 42 , 52 , . . ., n2 ou 1, 4, 9, 16, 25, . . .



Então , a raiz de 23 está entre o 4 e o 5. Começa-se com o 4 na série, resultando em:








com este valor calculado 39/8 aplica-se novamente na fórmula:



Este resultado já é bem próximo da raiz de 23. A precisão chega até a 3a casa decimal.Se fizermos o processo novamente, com o valor obtido anteriormente, a aproximação poderá chegar a várias casas decimais.
Um terceiro método que eu conheci ainda na minha infância, uma época em que agente nem imaginava possuir uma calculadora científica, consiste num algoritmo bastante prático. Não sei quem inventou, talvez os egípcios ou babilônios. Suponhamos que desejamos calcular a raiz...
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