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FRAÇÕES CONTÍNUAS,
REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS E APROXIMAÇÕES
Carlos Gustavo Moreira
( Nível Avançado.

INTRODUÇÃO

A teoria de frações contínuas é um dos mais belos temas da matemática elementar, sendo ainda hoje assunto de pesquisa recente (incluindo a do autor destas linhas). O objetivo deste artigo é servir como referência didática em português a nível secundário sobre o assunto.

Nas inclusões N ( Z ( Q ( R a passagem de Q para R é sem dúvida a mais complicada conceitualmente, e a representação de um número real está diretamente ligada à propria noção de número real.

De fato, o conceito de número natural é quase um conceito primitivo no ensino secundário. Já um número inteiro é um número natural com um sinal que pode ser + ou –, e um número racional é a razão entre um número inteiro e um natural não nulo. Por outro lado, dizer o que é um número real é tarefa bem mais complicada, mas há coisas que podemos dizer sobre eles. Uma propriedade essencial de R é que todo número real pode ser bem aproximado por números racionais. Efetivamente, dado x ( R, existe k ( Z (k = [x]) tal que 0 ( x – k < 1. Podemos escrever a representação decimal de x – k = 0, a1a2…an…, ai ( {0, 1, …, 9}, o que significa que se rn = an + 10.an–1 + 100.an–2 +…+ 10n–1 . a1, então
[pic], e portanto [pic]é uma boa aproximação racional de x, no sentido que o erro [pic] é menor que [pic], que é um número bem pequeno se n for grande. A representação decimal de um número real fornece pois uma seqüência de aproximações por racionais cujos denominadores são potências de 10.

Dado qualquer x ( R e q natural não nulo existe p ( Z tal que [pic] , e portanto [pic] e [pic]. Em particular há aproximações de x por racionais com denominador q com erro menor que [pic]. A representação decimal de x equivale a dar essas aproximações para os denominadores q que são potências de 10, e tem méritos como sua praticidade para efetuar cálculos que a fazem a mais