Pt do b

PARÁBOLA
Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
[pic]
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
[pic]
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem: y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da