Pt do b

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PARÁBOLA
Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
[pic]Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
[pic]Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 -Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual aequação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação daparábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) \ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 \ y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y- 1) \ x2 = 12y - 12 \ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Exercício proposto
Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0

Elipse

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano
Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0,denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. 
Como, por definição,a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.
Equação reduzida da elipse de eixo maior  horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a

[pic]

onde o eixo A1A2 de medida2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

[pic]
Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:
[pic]
Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2  = b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada,...
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