Provas

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL
Professora Salete Souza de Oliveira
Aluna Thais Silva de Araujo
P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais
a) C é a curva é definida pela função
b) C é a curva definida pela função
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por
.
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1)
3) Calcule

, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície
, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2).

4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por
. Mostre que: 5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
Ao mover uma partícula ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e no sentido anti horário.
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências.
7) Considere o campo vetorial

continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por:

a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para .
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência

1

RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009

1)
a)

c)

2)

2

3) Para o ponto (1,1,2)

4)

5)

.1 .
=
d =

=0

+ a ) . ( )dt =

= at = a²

+ t ) ( ) dt = 3

d =
W=

). dt = 0
+

d = 2a²

6) Solução Caderno
7) a)

= y (1)

= x (2)

Integrando (1): f =
Derivando (3) em relação a y:
=x+

(3)

(y) (4)

(4) = (2) temos:

C=a

f = xy+a

c) x = cos t y = sen t
0≤ t ≤ t 0 → cos 0 sen 0

10

t π → cos π sen π

-1,0)

.d =
W=0

4

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
P1 –Período Especial – Data 25/03/2002

1) (2,0 Pontos) Supondo que
Mostre que:

, com r =

e que a seja um vetor constante.

a) (0,5)
b) (0,5)
c) (0,5)
d) (0,5)

2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F