Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (P.A.)

A progressão aritmética é uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, ou seja, uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual á soma do termo anterior com uma constante r. O r é um número chamado razão. Exemplos de progressões aritmética (P.A.):
1, 7, 13, 19, 25, ..., é uma P.A. em que r = 6
-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2
5, 5, 5, 5, 5,.., é uma P.A. em que r = 0 Após o segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

Fórmula do termo geral de uma P.A. Pode-se obter o n-ésimo de um termo de uma progressão aritmética apartir da formula:

é o primeiro termo; é a razão. Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética

Demonstração A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática: Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para ou seja, que resulta que o n-ésimo termo é dado por:

De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:

Soma dos termos de uma progressão aritmética A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

Demonstrações Considerando a PA a soma de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

Somando membro a membro, obtemos:

Todos os pares entre