Problema da salada de frutas - análise combinatória - pucpr 2013

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PUCPR – VERÃO 2013 - MATEMÁTICA

Uma pessoa dispõe de 6 morangos, 6 bananas, 6 kiwis e 6 maçãs para fazer uma salada de frutas usando exatamente 6 frutas das 24 que possui. Sabendo que não éobrigatório utilizar os quatro tipos de fruta (morango, banana, kiwi e maçã), que é necessário usar pelo menos dois dos quatro tipos de fruta e que não é permitido utilizar quantidades não inteiras de cadafruta, calcule quantas saladas de frutas distintas essa pessoa poderá fazer.
A) 80
B) 84
C) 120
D) 1296
E) 116

SOLUÇÃO:
Inicialmente, devemos perceber que são duas escolhas a serem feitas:primeiro escolhemos quantos tipos de frutas vamos usar (podem ser 2, 3 ou 4 tipos). Depois escolhemos quais frutas vamos usar, uma vez que temos 4 possibilidades. Assim, vamos analisar separadamente, assaladas feitas com 2 tipos de frutas, depois com 3 tipos e, finalmente, as saladas feitas com 4 tipos de frutas.

SALADAS COM 2 TIPOS DE FRUTAS
Existem 3 maneiras diferentes de fazer uma saladausando dois tipos de frutas, totalizando 30 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos:
1 fruta “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → A4,2 = 12
2 frutas “tipo A” e 4 frutas “tipoB” → A4,2 = 12
3 frutas “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → C4,2 = 6
TOTAL = 30 saladas de frutas diferentes (1)

SALADAS COM 3 TIPOS DE FRUTAS
Existem também 3 maneiras diferentes de fazeruma salada usando três tipos de frutas, totalizando 40 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos:
1 fruta “tipo A” e 1 fruta “tipo B” e 4 frutas “tipo C” → 4.C3,2 = 121 fruta “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 3 frutas “tipo C” → A4,3 = 24
2 frutas “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 2 frutas “tipo C” → C4,3 = 4
TOTAL = 40 saladas de frutas diferentes (2)SALADAS COM 4 TIPOS DE FRUTAS
Para esse caso, existem 2 maneiras diferentes de fazer uma salada, totalizando 10 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos:
1 fruta “tipo A”...
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