Probabilidade

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DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS

DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI

Definição:
Se uma variável aleatória X só pode assumir os valores 0 e 1 com p(x=0) = q e p(x=1) = p com p + q = 1, então diremos que a variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli.

Os possíveis valores que a variável X pode assumir são 0 e 1.
A função de probabilidade associada à variável aleatória X é x(0) = q e x(1) =p.
O valor esperado da variável aleatória x é: µ(x) = p.
A variância da variável aleatória x é: 2 (x) = p.q e o desvio padrão da variável aleatória x é (x) = Vp.q.

Exemplo
No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x anota o número de caras obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

E(x) = µ(x) = 0,5

2 (x) = 0,5 . 0,5 = 0,25______
(x) = V 0,25 = 0,5

FDP: P(X = x) = px .(1 – p)1-x , X = 0,1, com 0 < p < 1
E(X): p
F(x): p(1-p)

DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL

Definição:
Um experimento aleatório, consistindo em n repetidas tentativas, de modo que

(1) as tentativas sejam independentes,
(2) cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e“falha”,
(3) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permaneça constante

é chamado de um experimento binominal.
A variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binominal com parâmetros p e n = 1,2....
A função de probabilidade de X é

f (x) = (n) px(1 – p)n-x, X = 0,1......,n
(x)Considere os seguintes experimentos aleatórios e variáveis aleatórias. Como exemplo.
1. Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = número de caras obtidas.
2. Uma tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = número de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidas.
3. Cada amostra de ar tem 10 % de chance de conter uma molécula rara particular. Faça X = Número de amostras de ar que contêm amolécula rara nas próximas 18 amostras analisadas.

Esses exemplos ilustram que um modelo geral de probabilidade, que incluísse esses experimentos como casos particulares, seria muito útil.
Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo em uma séria de tentativas aleatórias e repetidas: 10 arremessos da moeda no experimento (1), a produção de25 peças no experimento (2), e assim por diante. A variável aleatória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que encontram um critério especifico. O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério que X conta; consequentemente, cada tentativa pode ser sumarizada como resultando em um sucesso ou uma falha, respectivamente. Por exemplo, em um experimento de múltipla escolha,para cada questão, somente a escolha que seja correta é considerada um sucesso. Escolhendo qualquer uma das três opções incorretas resulta em uma tentativa sendo resumida como um a falha.

Algumas propriedades da Distribuição Binomial

Média µ = Np
Variância 2 = Npq

Exemplo
Em 100 lances de uma moeda honesta, a média do número de casas e µ =Np = (100) (1/2) = 50. Esse é o número esperado de caras em 100 lances da moeda. O desvio padrão é o = _____ = ________________
V Npq V (100) (1/2) (1/2) = 5.

FDP: P(X = x)= ( n / x). px (1 – p) n-x , X = 0,1,2,....,n com o < p < 1
E(X): np
F(x): np (1 – p)

DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA

DefiniçãoEm uma série de tentativas independentes de Bernoulli, com probabilidade constante p de um sucesso, faça a variável aleatória X denotar o número de tentativas ate que o primeiro sucesso ocorra. Então X tem uma distribuição geométrica, com parâmetro p e

F(x) = (1-p) x-1 p, X = 1,2,...

Considere um experimento aleatório que esteja bem relacionado aquele usado na...
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