Probabilidade

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Probabilidade
Multiplicação e Teorema de Bayes

Regra da Multiplicação
Num teste, são aplicadas 2 questões de múltipla escolha. Na primeira questão, as respostas possíveis são V ou F. Na segunda, a, b, c, d ou e. Se um aluno decidir “chutar” a respostas, quantas alternativas terá? 1o passo: 2 alternativas => m 2o passo: 5 alternativas => n Alternativas possíveis: m x n = 2 x 5 = 10alternativas de respostas diferentes. Considerando a probabilidade de acertar ambas questões: P(acerto) = 1/10 = 0,1

Regra da Multiplicação
Considerando as respostas individualmente:
P(acerto na 1o questão) = ½ P(acerto na 2o questão) = 1/5 Como ½ x 1/5 = 1/10... Verificamos que:
• P(acerto 1o e acerto 2o) = P (acerto 1o) x P(acerto 2o)
Contudo, nem sempre as relações entre os experimentos A e Bacontecem de forma independente.

Regra da Multiplicação
O interesse agora é estimar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em passos distintos. A palavra-chave aqui é a conjunção “E”
P (A e B) = P (ocorrência de A e de B)
• Exemplo: sair duas faces ímpares no arremesso de dois dados (J e K)
P (J ímpar e K ímpar) = P (J ímpar) x P (K ímpar)

Regra da Multiplicação
Um fabricante produzum lote de 50 peças, das quais 6 são defeituosas. Se escolhermos duas peças aleatoriamente, qual a probabilidade de ambas serem boas?
P (1° peça boa E 2° peça boa) = ???

Regra da Multiplicação
Um fabricante produz um lote de 50 peças, das quais 6 são defeituosas. Se escolhermos duas peças aleatoriamente, qual a probabilidade de ambas serem boas?
P (1° peça boa E 2° peça boa) = ???
P(1opeça boa) = 44/50 = 0,88 P(2o peça boa) = 43/49 = 0,8775 Regra da Multiplicação: 2 passos 0,88*0,8775 = 0,7722

Regra da Multiplicação
Um fabricante produz um lote de 50 transistores, dos quais 6 são defeituosos. Se realizarmos duas retiradas de peças aleatoriamente e em seqüência, com reposição – considerar que o transistor da primeira retirada é reposto ao lote antes da segunda retirada – qual aprobabilidade de ambas serem boas?

Regra da Multiplicação
Um fabricante produz um lote de 50 transistores, dos quais 6 são defeituosos. Se realizarmos duas retiradas de peças aleatoriamente e em seqüência, com reposição – considerar que o transistor da primeira retirada é reposto ao lote antes da segunda retirada – qual a probabilidade de ambas serem boas?

P(1o transistor bom) = 44/50 =0,88 P(2o transistor bom) = 44/50 = 0,88 Regra Multiplicação: 2 passos 0,88*0,88 = 0,7744

Conclusões
Que tipo de cuidado devemos tomar ao aplicarmos esta regra para fazer o cálculo?
Identificar se o experimento seguinte “B” é DEPENDENTE da ocorrência do evento “A”.

Pela Notação:

se P (B | A) ≠ P(B) Lê-se: P (B | A) Probabilidade de B tal que A tenha ocorrido (ou dado que A tenhaocorrido) P (A e B) = P (A) x P (B | A)

Portanto, a Regra da Multiplicação é:

Exemplo 3
Retirando duas cartas de um baralho (52 cartas), determine a probabilidade de que na primeira carta seja um Ás e a segunda um Rei, considerando:
Com reposição Sem reposição

Exemplo 3
Retirando duas cartas de um baralho (52 cartas), determine a probabilidade de que na primeira carta seja um Ás e a segundaum Rei, considerando:
Com reposição Sem reposição

Com reposição P(ás) = 4/52 P(Rei) = 4/52 4/52*4/52 = 0,0059

Sem reposição P(ás) = 4/52 P(Rei) = 4/51 4/52*4/51 = 0,0060

Eventos Independentes
Nos exemplos anteriores, ilustra-se o princípio de que a probabilidade do evento B é DEPENDENTE do fato do evento A já ter ocorrido. Com base nesta relação, podemos diferenciar EVENTOSDEPENDENTES e INDEPENDENTES. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles NÃO afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Eventos Independentes
INTUITIVA Multiplicamos a probabilidade de ocorrência de A pela probabilidade de ocorrência de B, que deve ser calculada considerando a ocorrência prévia de A FORMAL P (A e B) = P(A) x P(B) Somente se A e B são independentes P (A e B) =...
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