Potencias e raizes

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Matemática

POTÊNCIAS E RAÍZES
1. INTRODUÇÃO
Pitágoras foi um filósofo e matemático grego. Pitágoras fundou uma sociedade secreta, científico-religiosa, cuja finalidade era descobrir a harmonia que preside o Universo e traçar, de acordo com ela, a vida individual e do governo das cidades, daí seu grande interesse pela matemática. Os membros dessa sociedade secreta, que sobreviveu até cerca depitagó400 anos após a morte de Pitágoras, eram chamados pitagóricos. Muitos foram os estudos dos pitagóricos sobre matemática. Entre outros estão: números, medias, proporções e seqüências. Na geometria destaca-se a demonstração do chamado teorema de Pitágoras

(a )− n =
Exemplos:

1 an

,

a ≠ 0.

1.1) Teorema de Pitágoras
Em todo triangulo retângulo, o quadrado da medida dahipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
B b A c a

1 1 = ; 2 5 25 −1 1 1 3   =   = 3; 3 1 (− 2,3)− 2 = 1 2 = 1 . (2,3) 5,29 5− 2 =
2.2) Potência com expoente fracionário
Dados
m n

a∈R

com

a>0

e

m,n ∈ Z

temos que

am = a n .
2 3

Exemplos:
22 = 23 ;
3 2

C

a =b +c

2

2

2

3 = 2 33 = 2 32 ⋅ 3 = 3 3
3. OPERAÇÕES COM RADICAISDE MESMO ÍNDICE 3.1) Adição e Subtração
Para somar ou subtrair radicais do mesmo índice, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.

2. POTENCIAÇÃO
Definimos a potência de um número real

a

expoente

n∈N

como:

a = a ⋅ 4 a ⋅ a. ⋅ 4a , n ≥ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 a 4 4..3
n fatores

n

.

Exemplos:

Exemplos:

3 5 − 2 13 + 4 13 − 5 = 3 5 − 5 − 2 13 + 4 13 = 2 5 + 2 13
2 3x + 4 2 y− 5 3x − 3 2 y = 2 3x − 5 3x + 4 2 y − 3 2 y = − 3 3x + 2 y
3.2) Multiplicação e divisão
Para multiplicar ou dividir radicais de mesmo índice, basta conservamos o índice e multiplicamos, ou dividimos, os radicandos.

(− 2)3 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2 ) = −8
 1  1  1 1 −  = − ⋅−  =    2  2  2 4
Observação:
Todo número elevado a zero é igual a um.
2

(a )0 = 1
Todonúmero elevado a um é igual a própria base.

Exemplos:

5 ⋅ 20 = 5 ⋅ 20 = 100 = 10 ;

(a )1 = a
2.1) Potência com expoente negativo
Para se calcular uma potencia com expoente negativo, basta inverter a base, que o expoente se torna positivo.

4

2 ⋅ 4 8 = 4 2 ⋅ 8 = 4 16 = 4 24 = 2 ; 100 5 = 100 = 20 = 2 5 ; 5

Editora Exato

1

Matemática

12 12 = = 4 = 2. 3 3
3.3) Potência
Dadosmos que:
n

d) e)

a∈R , a > 0
m n m

e

m , n∈ N n ≠ 0

te2

 a −3   2   x    x −1 (2 ÷ 31− x ) 2

5

( a ) = ( a ). ( 2) = ( 2 )= 2 ⋅2 = 2 ( 9 ) = 9 = 81 = 3 =
3 3 2 3 2 3 2 3 3 4

Exemplo:

Os resultados de cada operação

(

2+ 8

)

e

2;
3

(
a) b) c)

2⋅ 8

) respectivamente é:
d) e)

10 e 16 6 e 4. 3 2 e 4.

3 2 e 16 . 2 3 e 4.

33 ⋅ 3= 33 3

4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Observe a expressão expressão em outra

1 . 3

Vamos transformar essa equivalente, assim:

3

Simplifique as expressões abaixo:

expressão

1 3



3 3

=

3 9

=

3 → 3

multiplicamos o numerador e

5 + 4 5 −3 5 + 2 5 − 5 b) 1 − 3 + 3 − 2 − 1 + 2 c) 4 5 − 10 ⋅ 2 + 80
a) 4 (OSEC(OSEC-SP) O produto 0,000015 x 0,000000002 éigual a: a)

o denominador por 3 e efetuamos a multiplicação das frações obtidas. Diremos com isso que racionalizamos o denominador da expressão dada, onde 3 é chamado de fator racionalizante. Em geral temos: Para racionalizar uma expressão cujo denominador tem uma raiz quadrada, devemos multiplicar o numerador e o denominador dessa expressão pelo fator racionalizante. A tabela abaixo fornece ofator racionalizante de alguns casos: Tipo de denominador Fator racionalizante

3 × 10 −40 −14 b) 3 × 10 −14 c) 30 × 10

d) e)

30 × 10 −13 3 × 10 −4

a ,a ≥ 0 a

a+ b, a, b > 0 a− b

a − b,
a, b > 0

5

(VUNESP) Se x = 10 igual a: a) b)

−3

, então

(0,1).(0,0001).10−1 10.(0,0001)
X 10 X e) 100

é

a+ b

100 × 10 ×
×

d)

Exemplo:
Racionalizar

2+ 3 2−...
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