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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA PROBLEMAS DE FÍSICA II _______________________________________________________________________________________________

SÉRIE 6 : Movimento Harmónico Simples (MHS)

PROBLEMAS RESOLVIDOS 1 . Uma partícula encontra-se em vibração definida pela equação x = 4 sin (πt - π/2) (S.I.). a ) Indique em que instantes a partícula passa pela posição de equilíbriono 1º período do seu movimento. b ) Determine o período do movimento e a velocidade da partícula ao fim de 1s.

2 . Suponha uma partícula animada de movimento vibratório rectilíneo com 8s de período. Sendo 5 2 e π/4 , respectivamente, a elongação inicial e a fase inicial, determine: a ) A lei do movimento, fazendo a sua representação gráfica. b ) Os instantes em que a velocidade se anula.

3. Uma partícula com 0.50 kg de massa move-se com MHS. A amplitude é de 10 cm e o período do movimento é 0.1s. Calcule, quando a partícula está a 5 cm da posição de equilíbrio: a ) A aceleração da partícula. b ) A força que actua sobre a partícula. c ) As energias cinética e potencial da partícula.

Série 6 – Movimento Harmónico Simples

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Resoluções : 1. a) x=0 m t=? Comparando a equação deste movimento com a equação geral do MHS verifica-se que: ⇒ ⇒ ⇒ x = 4 sin (π t - π/2) x = A sin (ω t + δ) ω = π rad.s-1 δ = - π/2 rad A=4 m x = 4 sin (π t - π/2) (S.I.)

x=0 ⇒

4 sin (π t - π/2) = 0 sin (π t - π/2) = 0 π t - π/2 =0 t = 0.5 s ∨ ∧ π t - π/2 = π t = 1.5 s

b) t=1s T=
2π 2π = =2 ω π

T=? T=2s

v=?

v=

dx π  = 4 π cos  π t −  dt 2 

π π v = 4 π cos  π −  = 4 π cos = 0   2 2 

t=1

v = 0 m.s-1

Série 6 – Movimento Harmónico Simples

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2. T=8s a) Lei do movimento x = A sin (ω t +δ) T=
2π ω

x0 = 5 2

δ=

π 4



ω=

2π 2π π = = T 8 4

x0 = A sinδ
π 4

pois t = 0

5 2 = A sin



A=

5 2 5 2 10 2 = = = 10 π 2 2 sin 4 2

π π x = 10 sin  t +    4 4

Representação gráfica A representação gráfica de um movimento harmónico simples (MHS) pode ser feita, de uma maneira simplese rápida, recorrendo à relação que se pode estabelecer entre um MHS e o movimento circular uniforme (m.c.u.). De facto o movimento harmónico simples pode ser interpretado como a projecção de um movimento circular uniforme sobre um eixo coordenado. Nesta perspectiva, o movimento circular uniforme resulta da conjugação de dois MHS com a mesma amplitude (igual ao raio da trajectória circular), com amesma frequência angular (igual à velocidade angular do m.c.u.) e desfasados de π/2. Assim: • constrói-se um sistema de eixos Oxt e um círculo de referência acoplado a esse sistema de eixos;

Série 6 – Movimento Harmónico Simples

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Divide-se o círculo em, pelo menos, oito partes (em δ se 2π for um múltiplo inteiro de δ) e determina-se a posição inicial marcando o valor de δ; Marcam-se, sobre o círculo, as posições 1, 2, ..., n no sentido indicado pelo sinal do ω; Marca-se no eixo Ot o período, T; Divide-se o período no mesmo número de partes em que se dividiu o círculo; Faz-se a correspondência entrecada posição do círculo e a respectiva posição no eixo Ot, começando pela posição 0; Unem-se os pontos encontrados obtendo-se, deste modo, a representação do MHS como projecção do m.c.u. sobre o eixo vertical (Ox).

x 1 2 3 0 ≡8 δ 7 O 4 5 6 1
π 2ω π ω

5
3π 2ω 2π ω

t

x 15 10 5 0 0 -5 1 2 3 4 5 6 7 8

t 9

-10

-15

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