Polinômios

Texto complementar – Cálculo diferencial de uma variável Profª Isabel Espinosa Podemos utilizar derivadas para encontrar aproximação de uma função f, fazemos isso utilizando Polinômio de Taylor. Chamamos de polinômio de Taylor da função f em a, com grau n, ao polinômio

f ( n ) (a ) Tn ( x ) = ∑ ( x − a) n , onde f(n) indica a derivada de f de ordem n. n=0 n!
∞

Quando n = 1 temos o polinômio de Taylor de 1ª ordem, isto é, T1(x) = f(a) + f ‘(a) . (x – a)n , que é uma aproximação linear de f. O gráfico de T1(x) é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Este é processo que as calculadoras utilizam para fazer os cálculos, afinal calculadoras efetuam as contas através de multiplicação e soma e isto é o que encontramos no polinômio de Taylor. As calculadoras para conseguir precisão de 9 casas decimais utilizam o polinômio de Taylor com muitos termos. Utilizando o polinômio de Taylor,Tn, para uma aproximação devemos ficar atentos a alguns detalhes, por exemplo se a aproximação é boa, qual o valor de n para uma boa aproximação, qual é o tamanho do erro cometido na aproximação. Vamos agora utilizando aproximação linear, isto é, o polinômio de Taylor de grau 1, dar uma aproximação para e0,05 . Tomemos a função f (x) = ex, e determinemos uma aproximação linear para ela quando x = 0. Usando o polinômio de Taylor de 1ª ordem temos: T1(x) = f (0) + f´(0) (x − 0) Calculando a derivada de f temos: f ‘(x) = e x , e daí f ‘(0) = e0 = 1 Como f (0) = 1 temos: T(x) = 1 + 1 (x − 0) = 1 + x. Logo T(0,05) = 1 + 0,05 = 1,05. Assim e0,05 = 1,05, comparando com o valor ao utilizarmos uma calculadora temos: 1,05127

Utilizando aproximação linear, isto é, o polinômio de Taylor de grau 1 dê uma aproximação para e0,05 . Tomemos a função f (x) = ex, e determinemos uma aproximação linear para ela quando x = 0. Usando o polinômio de Taylor de 1ª ordem temos: T1(x) = f (0) + f´(0) (x − 0) Calculando a derivada de f temos: f ‘(x) = ex , e daí f ‘(0) = e0 = 1 Como f (0) = 1