Polinomios

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Polinomios
1 - Definição:
Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) . 

Entende-se por polinômio em C à função:
P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an , onde os números complexos ao , a1 , ... , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é avariável do polinômio.

Exemplo :
P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ). 
O grau de P(x) é igual a 5 .
Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:
Binômio : possuem dois termos. Exemplo : r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2).
A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios.
1.1 - Valor numérico do polinômio
Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x)  para  x = m ,  ao valor  P(m)  ou seja o valor que obtemos substituindo x   por   m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þp(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 p(-1) = 6.
1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio
O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x)  quando  P(m) = 0 .

Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 .
Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1.
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0(verifique!) .
1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio
Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10 ® S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x?
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida. 
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ? 
Ora, substituindo  x  por  1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-seque toda potência de expoente par é positiva).

Outro exemplo: 
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ? 
Ora, temos para x = 1 :  S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296
2 - Identidade de polinômios
2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P º 0(polinômio nulo) .
Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .
2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais . 
Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P º Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais . 
A expressão P º Q é denominadaidentidade .
Exercício resolvido:
Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2) .
Solução: 
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemosescrever :
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10.
Resp: 10
3 - Divisão de polinômios
Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:
1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4 46 = 6.7 + 4) ....
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