Polinomio

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS – CONCEITOS - GABARITO
1. Quais os valores de A e B de forma que [pic]?
Solução. Igualando os denominadores, temos:
[pic].
Repare que o denominador do 1º membro foi fatorado em x2 – x = x(x - 1). Comparando os numeradores com as respectivas partes literais, vem:
[pic] Logo A = - 1 e B = 2.

2. Dos polinômios abaixo, qual o único que pode seridenticamente nulo?
a. a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7-b)x
b. (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)
c. (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2
d. (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a – 1)
e. a2x3 - (3 + b)x2 - 5x

Solução. Um polinômio é identicamente nulo se todos os coeficientes são nulos. Vamos analisar cada item.
a) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-se somente os termos em x2 e x. Otermo com x3 terá coeficiente a2 = (1)2.
b) Não será identicamente nulo, pois se a = 1 e b = 7 anula-se somente os termos em x2 e independente. O termo com x2 terá coeficiente (a + 1) = (1 + 1)2 = 4.
c) Não será identicamente nulo, pois, se a = 1 o termo em x3 será (a2 + 1) e não se anula.
d) Poderá ser identicamente nulo para a = 1 e b = - 3.
e) Não será identicamente nulo, pois o termo em “x” édiferente de zero e não se anula.

3. Dados os polinômios p, q e r de graus 2, 4 e 5,respectivamente,é verdade que o grau
de p + q + r :
a. não pode ser determinados;
b. pode ser igual a 2;
c. pode ser igual a 4;
d. pode ser menor que 5;
e. é igual a 5;

Solução. No produto e na adição de polinômios vale a relação: gr(p.q) = gr(p) + gr(q); gr(p+q) < max{gr(p),gr(q)}.Logo, o grau da soma será o maior, logo p + q + r = 5.
4. Se os polinômios x2 – x + 4 e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então calcule a + b.
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemos os polinômios e igualamos termo a termo.
[pic] Resposta: a + b = 1 + 3 = 4.
5. Se [pic] com x ≠ 0 e x ≠ -1, calcule o produto (A.B).
Solução.Igualando os denominadores, temos:
[pic].
Comparando os numeradores com as respectivas partes literais, vem:
[pic] Logo (A.B) = 0.

6. Que valores de a e b tornam os polinômios P1(x) = x2 – x – 6 e P2(x) = (x + a)2 – b idênticos?
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemos os polinômios e igualamos termo a termo.
[pic] Resposta:Os valores são: [pic] e [pic].
7. Sendo f, g e h polinômios de graus 4 ,6 e 3, respectivamente, o grau de (f + g).h será:
Solução. Como gr(p.q) = gr(p) + gr(q); gr(p+q) < max{gr(p),gr(q)}, temos:
i) Seja p = f + g. Então gr(p) = gr(f + g) = max{gr(f), gr(g)} = gr(g) = 6
ii) Sega q = p.h = [(f + g).h]. Então gr(q) = gr[(f + g).h] = gr(p.h) = gr(p) + gr(h) = 6 + 3 = 9.
8. Se P(x) é umpolinômio de grau 5, qual o grau de [P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x) é:
Solução. Como gr(p.q) = gr(p) + gr(q); gr(p+q) < max{gr(p),gr(q)}, observamos que o grau do polinômio resultante será o maior da expressão: [P(x)]3. Se P(x) possui grau 5, há um termo (x5) e esse termo elevado ao cubo possuirá grau (x5)3 = x15. Como ele será o termo dominante, todo o polinômio terá grau 15.
9. Se A(x – 3)(x – 2) + Bx( x -3 ) + Cx(x – 2) = 12, calcule os valores de A, B e C.
Solução. Desenvolvendo as expressões e igualando ao termo do 2º membro, temos:
[pic]
Resposta: A = 2; B = - 6; C = 4.
10. Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5 são idênticos, qual o valor de r3 – s3?
Solução. Dois polinômios são idênticos se todos os coeficientes são ordenadamente iguais. Logo, desenvolvemosos polinômios e igualamos termo a termo.
[pic] Resposta: O valor de r3 – s3 é - 407.
11. Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + mx – 1, onde m ( R e seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).
Solução. Encontrando o valor numérico de P(x) para x = 2 e x = 0, temos:
[pic] Resposta: O valor de P(m) é - 3.
12. Sejam os polinômios f = 2x3 – 3x2 + 3; g = x2 + 3 e h = x3 – 2x2....
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